Câu hỏi:

23/04/2022 1,230

Cho đồ thị $(C) : y = \frac{x}{x - 1} .$ Đường thẳng d đi qua điểm I(1; 1) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó diện tích tam giác MAB với M(0; 3) đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn AB bằng:

A. $\sqrt{10}$

Đáp án chính xác

B. $\sqrt{6}$

C. $2 \sqrt{2}$

D. $2 \sqrt{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

- Sử dụng: Vì I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x - 1} \Rightarrow I A = I B .$

- Chứng minh $S_{Δ M A B} = 2 S_{Δ M A I}$

- Kẻ $A H ⊥ M I (H \in M I)$ ta có $S_{Δ M A I} = \frac{1}{2} A H . M I,$ chứng minh để $S_{Δ M A B}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $S_{Δ M A I}$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow A H$ đạt giá trị nhỏ nhất.

- Viết phương trình đường thẳng MI, tính $A H = d (A; M I)$ , sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN.

- Suy ra tọa độ điểm A tính IA và suy ra AB

Cách giải:

Cho đồ thị (C): y = x/x - 1. Đường thẳng d đi qua điểm I(1; 1) cắt (C) (ảnh 1)

Dễ thấy I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x - 1}$ (giao điểm 2 đường tiệm cận).

Vì d đi qua A và cắt đồ thị $y = \frac{x}{x - 1}$ tại 2 điểm phân biệt A, B nên $I A = I B = \frac{1}{2} A B .$

Ta có: $\frac{S_{Δ M A I}}{S_{Δ M A B}} = \frac{M I}{M A} = \frac{1}{2} \Rightarrow S_{Δ M A B} = 2 S_{Δ M A I}$

Kẻ $A H ⊥ M I (H \in M I)$ ta có $S_{Δ M A I} = \frac{1}{2} A H . M I$ với $M I = \sqrt{{(1 - 0)}^{2} + {(1 - 3)}^{2}} = \sqrt{5}$

$\Rightarrow S_{Δ M A I} = \frac{1}{2} A H . \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{2} A H .$

Để $S_{Δ M A B}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $S_{Δ M A I}$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow A H$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương trình đường thẳng MI là $\frac{x - 1}{0 - 1} = \frac{y - 1}{3 - 1} \Leftrightarrow 2 (x - 1) = - (y - 1) \Leftrightarrow 2 x + y - 3 = 0$

Gọi $A (x_{0}; \frac{x_{0}}{x_{0} - 1}) \in (C)$ ta có $A H = d (A; M I) = \frac{|2 x_{0} + \frac{x_{0}}{x_{0} - 1} - 3|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \frac{|2 x_{0} + \frac{1}{x_{0} - 1} - 2|}{\sqrt{5}} .$

Giả sử A là điểm nằm bên phải đường thẳng $x > 1 \Rightarrow x_{0} > 1.$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $2 x_{0} + \frac{1}{x_{0} - 1} - 2 = 2 (x_{0} - 1) + \frac{1}{x_{0} - 1} \geq 2 \sqrt{2} \Rightarrow A H_{\min} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{10}}{5} .$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 2 (x_{0} - 1) = \frac{1}{x_{0} - 1} \Leftrightarrow {(x_{0} - 1)}^{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x_{0} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow x_{0} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Khi đó $A (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}; 1 + \sqrt{2}) \Rightarrow I A = \sqrt{{(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} - 1)}^{2} + {(1 + \sqrt{2} - 1)}^{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \Rightarrow A B = 2 I A = \sqrt{10} .$

Vậy để $S_{Δ M A B}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $A B = \sqrt{10} .$

Chọn A.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình bên. Phương trình $f (x^{2}) + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 6

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án » 20/04/2022 24,212

Câu 2:

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3^{2 x - 1}$ là:

A. $\frac{9^{x}}{3} + C$

B. $\frac{9^{x}}{3 \ln 3} + C$

C. $\frac{9^{x}}{6 \ln 3} + C$

D. $\frac{9^{x}}{6} + C$

Xem đáp án » 20/04/2022 18,014

Câu 3:

Giả sử f(x) là một đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm số y = f'(1 - x) được cho như hình bên. Hỏi đồ thị hàm số $g (x) = f (x^{2} - 3)$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (1; 2)

B. (-2; -1)

C. (0; 1)

D. (-1; 0)

Xem đáp án » 23/04/2022 13,493

Câu 4:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng AB và B'D' bằng:

A. $30^{0}$

B. $135^{0}$

C. $45^{0}$

D. $90^{0}$

Xem đáp án » 18/04/2022 13,320

Câu 5:

Một khối trụ có đường cao bằng 2, chu vi thiết diện qua trục gấp 3 lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ đó bằng:

A. $2 π$

B. $32 π$

C. $\frac{8 π}{3}$

D. $8 π$

Xem đáp án » 20/04/2022 12,686

Câu 6:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, O là tâm của mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và CD bằng

A. $\frac{a}{2}$

B. 3a

C. 2a

D. $\frac{3 a}{2}$

Xem đáp án » 20/04/2022 12,279

Câu 7:

Một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?

A. 22

B. 175

C. 43

D. 350

Xem đáp án » 22/04/2022 11,903

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho đồ thị $(C) : y = \frac{x}{x - 1} .$ Đường thẳng d đi qua điểm I(1; 1) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó diện tích tam giác MAB với M(0; 3) đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn AB bằng:

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình bên. Phương trình $f (x^{2}) + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3^{2 x - 1}$ là:

Giả sử f(x) là một đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm số y = f'(1 - x) được cho như hình bên. Hỏi đồ thị hàm số $g (x) = f (x^{2} - 3)$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng AB và B'D' bằng:

Một khối trụ có đường cao bằng 2, chu vi thiết diện qua trục gấp 3 lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ đó bằng:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, O là tâm của mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và CD bằng

Một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho đồ thị C:y=xx−1. Đường thẳng d đi qua điểm I(1; 1) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó diện tích tam giác MAB với M(0; 3) đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn AB bằng:

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình bên. Phương trình fx2+1=0 có bao nhiêu nghiệm?

Họ các nguyên hàm của hàm số fx=32x−1 là:

Giả sử f(x) là một đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm số y = f'(1 - x) được cho như hình bên. Hỏi đồ thị hàm số gx=fx2−3 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng AB và B'D' bằng:

Một khối trụ có đường cao bằng 2, chu vi thiết diện qua trục gấp 3 lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ đó bằng:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, O là tâm của mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và CD bằng

Một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho đồ thị $(C) : y = \frac{x}{x - 1} .$ Đường thẳng d đi qua điểm I(1; 1) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó diện tích tam giác MAB với M(0; 3) đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn AB bằng:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình bên. Phương trình $f (x^{2}) + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3^{2 x - 1}$ là:

Giả sử f(x) là một đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm số y = f'(1 - x) được cho như hình bên. Hỏi đồ thị hàm số $g (x) = f (x^{2} - 3)$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?