Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình $6^x-2^2-3^x=\frac{a}{5}$ có hai nghiệm thực phân biệt.

Phương pháp:

- Đặt $f\left(x\right)=6^x-2^x-3^x.$ Tính f'(x).

- Chứng minh $f\text{'}\left(x\right)>0\forall x>0,f\text{'}\left(x\right)<0\forall x<0$ và suy ra phương trình f'(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.

- Lập BBT hàm số f(x)

- Số nghiệm của phương trình $6^x-2^x-3^x=\frac{a}{5}$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $f\left(x\right)=6^x-2^x-3^x$ và đường thẳng $y=\frac{a}{5}.$

Cách giải:

Xét hàm số $f\left(x\right)=6^x-2^x-3^x$ ta có $f\text{'}\left(x\right)=6^x\ln 6-2^x\ln 2-3^x\ln 3.$

Ta có:

$f\text{'}\left(x\right)=6^x\ln 6-2^x\ln 2-3^x\ln 3$

$\iff f\text{'}\left(x\right)=6^x\left(\ln 2+\ln 3\right)-2^x\ln 2-3^x\ln 3$

$\iff f\text{'}\left(x\right)=\left(6^x-2^x\right)\ln 2+\left(6^x-3^x\right)\ln 3$

Với $x>0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{6}^x>2^x\\ 6^x>3^x\\ \ln 2>0,\ln 3>0\end{array}\right.\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)>0$

Với $x<0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{6}^x<2^x\\ 6^x<3^x\\ \ln 2>0,\ln 3>0\end{array}\right.\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)<0.$

Với $x=0\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0.$

Do đó phương trình f'(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình $6^x-2^x-3^x=\frac{a}{5}$ có 2 nghiệm phân biệt $\iff -1<\frac{a}{5}<0\iff -5<a<0.$

Mà $a\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\in \left\{-4;-3;-2;-1\right\}.$ Vậy có 4 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.