Cho hàm số $u\left(x\right)=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+3}}$ và f(x) trong đó đồ thị hàm số y = f(x) như hình bên. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $f\left(u\left(x\right)\right)=m$ có đúng 3 nghiệm phân biệt?

Phương pháp:

- Lập BBT của hàm số $u\left(x\right)=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+3}},$ xác định sự tương ứng nghiệm $x\leftrightarrow u\left(x\right)$.

- Đặt t = u(x). Biện luận để phương trình f(t) = m có đúng 3 nghiệm x phân biệt thì cần có nghiệm t thỏa mãn điều kiện gì?

- Dựa vào đồ thị hàm số tìm m để phương trình có nghiệm t thỏa mãn điều kiện vừa biện luận ở trên.

Cách giải:

Xét hàm số $u\left(x\right)=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+3}}$ ta có

$u\text{'}\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+3}-\left(x+3\right).\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}}{x^2+3}$

 $=\frac{x^2+3-x^2-3x}{\left(x^2+3\right)\sqrt{x^2+3}}=\frac{3-3x}{\left(x^2+3\right)\sqrt{x^2+3}}$

$u\text{'}\left(x\right)=0\iff x=1$

Ta có BBT:

Đặt t = u(x), phương trình $f\left(u\left(x\right)\right)=m\iff f\left(t\right)=m.$

Do đó để phương trình f(t) = m có đúng 3 nghiệm x phân biệt thì cần phải có 2 nghiệm t phân biệt thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}{t}_1\in \left(-1;1\right)\cup \left\{2\right\}\\ t_2\in \left(1;2\right)\end{array}\right.\left(*\right).$

Dựa vào đồ thị hàm số f(x) ta thấy $\left(*\right)\Rightarrow m\in \left(-3;0\right].$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{0;-1;-2\right\}.$

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.