Giả sử f(x) là hàm có đạo hàm liên tục trên khoảng $\left(0;\pi \right)$ và $f\text{'}\left(x\right)\sin x=x+f\left(x\right)\cos x,\forall x\in \left(0;\pi \right).$ Biết $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1,f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{12}\left(a+b\ln 2+c\pi \sqrt{3}\right),$ với a, b, c là các số nguyên. Giá trị a + b + c bằng: 

Phương pháp:

- Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m.

- Tìm nghiệm $x^2,$ từ đó tìm nghiệm x.

Cách giải:

Ta có: $f\left(x^2\right)+1=0\iff f\left(x^2\right)=-1,$ số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = -1

Dựa vào đồ thị ta thấy $f\left(x^2\right)=-1\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2=a<0\left(Vônghiệm\right)\\ x^2=b>0\\ x^2=c>0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\pm \sqrt{b}\\ x=\pm \sqrt{c}\end{array}\right..$

Vậy phương trình $f\left(x^2\right)+1=0$ có 4 nghiệm.

Chọn C.

Chú ý khi giải: Đề bài yêu cầu tìm nghiệm của phương trình $f\left(x^2\right)+1=0$ là tìm nghiệm x chứa không tìm nghiệm $x^2.$

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\underset{}{\overset{}{\int }}{a}^{mx+n}dx=\frac{a^{mx+n}}{m\ln a}+C.$

Cách giải:

$\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{}{\overset{}{\int }}{3}^{2x-1}dx=\frac{3^{2x-1}}{\ln 3}+C=\frac{9^x}{6\ln 3}+C.$

Chọn C.