Xét tất cả các số thực dương x, y thỏa mãn x+y10+log12x+12y=1+2xy. Khi biểu thức 4x2+1y2 đạt giá trị nhỏ nhất, tích xy bằng: A. 9100 B. 9200 C. 164 D. 132

Phương pháp: - Xét hàm đặc trưng, rút y theo x - Thế vào biểu thức 4x2+1y2, sử dụng: Biểu thức ax2+bx+ca>0 đạt GTNN tại x=−b2a. Từ đó tìm x, y. Cách giải: Với x, y ta có: x+y10+log12x+12y=1+2xy ⇔x+y10+logx+y2xy=1+2xy ⇔x+y10+logx+y−log2xy=1+2xy ⇔x+y10+logx+y−1=log2xy+2xy ⇔x+y10+logx+y10=log2xy+2xy * Xét hàm số ft=logt+tt>0 ta có f't=1tln10+1>0∀t>0, nên hàm số y = f(t) đồng biến trên 0;+∞. Do đó *⇔x+y10=2xy⇔x+y=20xy⇒y=x20x−1. Ta có: P=4x2+1y2=4x2+20x−12x2=400x2−40x+5x2=400−40x+5x2. Hàm số đạt GTNN khi 1x=402.5=4⇔x=14tm. Khi đó Pmin khi x=14,y=116. Vậy xy=14.116=164. Chọn C.

Câu hỏi:

25/04/2022 9,692

Xét tất cả các số thực dương x, y thỏa mãn $\frac{x + y}{10} + \log (\frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 y}) = 1 + 2 x y .$ Khi biểu thức $\frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất, tích xy bằng:

A. $\frac{9}{100}$

B. $\frac{9}{200}$

C. $\frac{1}{64}$

Đáp án chính xác

D. $\frac{1}{32}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

- Xét hàm đặc trưng, rút y theo x

- Thế vào biểu thức $\frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}},$ sử dụng: Biểu thức $a x^{2} + b x + c (a > 0)$ đạt GTNN tại $x = - \frac{b}{2 a} .$ Từ đó tìm x, y.

Cách giải:

Với x, y ta có:

$\frac{x + y}{10} + \log (\frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 y}) = 1 + 2 x y$

$\Leftrightarrow \frac{x + y}{10} + \log \frac{x + y}{2 x y} = 1 + 2 x y$

$\Leftrightarrow \frac{x + y}{10} + \log (x + y) - \log (2 x y) = 1 + 2 x y$

$\Leftrightarrow \frac{x + y}{10} + \log (x + y) - 1 = \log (2 x y) + 2 x y$

$\Leftrightarrow \frac{x + y}{10} + \log \frac{x + y}{10} = \log (2 x y) + 2 x y (*)$

Xét hàm số $f (t) = \log t + t (t > 0)$ ta có $f' (t) = \frac{1}{t \ln 10} + 1 > 0 \forall t > 0,$ nên hàm số y = f(t) đồng biến trên $(0; + \infty) .$

Do đó $(*) \Leftrightarrow \frac{x + y}{10} = 2 x y \Leftrightarrow x + y = 20 x y \Rightarrow y = \frac{x}{20 x - 1} .$

Ta có:

$P = \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = \frac{4}{x^{2}} + \frac{{(20 x - 1)}^{2}}{x^{2}} = \frac{400 x^{2} - 40 x + 5}{x^{2}} = 400 - \frac{40}{x} + \frac{5}{x^{2}} .$

Hàm số đạt GTNN khi $\frac{1}{x} = \frac{40}{2.5} = 4 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} (t m) .$

Khi đó $P_{\min}$ khi $x = \frac{1}{4}, y = \frac{1}{16} .$

Vậy $x y = \frac{1}{4} . \frac{1}{16} = \frac{1}{64} .$

Chọn C.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình bên. Phương trình $f (x^{2}) + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 6

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án » 20/04/2022 25,135

Câu 2:

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3^{2 x - 1}$ là:

A. $\frac{9^{x}}{3} + C$

B. $\frac{9^{x}}{3 \ln 3} + C$

C. $\frac{9^{x}}{6 \ln 3} + C$

D. $\frac{9^{x}}{6} + C$

Xem đáp án » 20/04/2022 19,723

Câu 3:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng AB và B'D' bằng:

A. $30^{0}$

B. $135^{0}$

C. $45^{0}$

D. $90^{0}$

Xem đáp án » 18/04/2022 15,395

Câu 4:

Giả sử f(x) là một đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm số y = f'(1 - x) được cho như hình bên. Hỏi đồ thị hàm số $g (x) = f (x^{2} - 3)$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (1; 2)

B. (-2; -1)

C. (0; 1)

D. (-1; 0)

Xem đáp án » 23/04/2022 13,767

Câu 5:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, O là tâm của mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và CD bằng

A. $\frac{a}{2}$

B. 3a

C. 2a

D. $\frac{3 a}{2}$

Xem đáp án » 20/04/2022 13,233

Câu 6:

Một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?

A. 22

B. 175

C. 43

D. 350

Xem đáp án » 22/04/2022 12,856

Câu 7:

Một khối trụ có đường cao bằng 2, chu vi thiết diện qua trục gấp 3 lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ đó bằng:

A. $2 π$

B. $32 π$

C. $\frac{8 π}{3}$

D. $8 π$

Xem đáp án » 20/04/2022 12,781

Xem thêm các câu hỏi khác »

Xét tất cả các số thực dương x, y thỏa mãn $\frac{x + y}{10} + \log (\frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 y}) = 1 + 2 x y .$ Khi biểu thức $\frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất, tích xy bằng:

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình bên. Phương trình $f (x^{2}) + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3^{2 x - 1}$ là:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng AB và B'D' bằng:

Giả sử f(x) là một đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm số y = f'(1 - x) được cho như hình bên. Hỏi đồ thị hàm số $g (x) = f (x^{2} - 3)$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, O là tâm của mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và CD bằng

Một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?

Một khối trụ có đường cao bằng 2, chu vi thiết diện qua trục gấp 3 lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ đó bằng:

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Xét tất cả các số thực dương x, y thỏa mãn x+y10+log12x+12y=1+2xy. Khi biểu thức 4x2+1y2 đạt giá trị nhỏ nhất, tích xy bằng:

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình bên. Phương trình fx2+1=0 có bao nhiêu nghiệm?

Họ các nguyên hàm của hàm số fx=32x−1 là:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng AB và B'D' bằng:

Giả sử f(x) là một đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm số y = f'(1 - x) được cho như hình bên. Hỏi đồ thị hàm số gx=fx2−3 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, O là tâm của mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và CD bằng

Một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?

Một khối trụ có đường cao bằng 2, chu vi thiết diện qua trục gấp 3 lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ đó bằng:

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Xét tất cả các số thực dương x, y thỏa mãn $\frac{x + y}{10} + \log (\frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 y}) = 1 + 2 x y .$ Khi biểu thức $\frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất, tích xy bằng:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình bên. Phương trình $f (x^{2}) + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3^{2 x - 1}$ là:

Giả sử f(x) là một đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm số y = f'(1 - x) được cho như hình bên. Hỏi đồ thị hàm số $g (x) = f (x^{2} - 3)$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?