Cho hai hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx-\frac{1}{2}$ và $g\left(x\right)=d{x}^2+ex+1\left(a,b,c,d,e\in ℝ\right),$ biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là -3; -1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ, dựa vào số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm xác định chính xác f(x) - g(x)

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) đường thẳng x = a, x = b là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx.$

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $f\left(x\right)-g\left(x\right)=a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}=0$ có 3 nghiệm lần lượt là -3; -1; 1 nên ta có

$a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}=a\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

$\iff a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}=a\left(x^3+3x^2-x-3\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}b-d=3a\\ c-e=-a\\ -\frac{3}{2}=-3a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b-e=\frac{3}{2}\\ c-e=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Nên $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số có diện tích bằng

$S=\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx-\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$

$=\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\left(\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)dx-\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)dx$

= 2 - (-2) = 4.

Chọn C.