Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên (SAB) là đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng $\frac{3\sqrt{7}a}{7}.$ Thể tích khối chóp S.ABCD là

Phương pháp:

- Gọi M là trung điểm của AB sử dụng định lí $\left\{\begin{array}{l}\left(P\right)\perp \left(Q\right)=d\\ a\subset \left(P\right),a\perp d\end{array}\right.\Rightarrow a\perp \left(Q\right)$ chứng minh $SM\perp \left(ABCD\right)$.

- Đổi $d\left(A;\left(SCD\right)\right)$ sang $d\left(M;\left(SCD\right)\right)$.

- Đặt độ dài cạnh đáy bằng x tính $d\left(M;\left(SCD\right)\right)$ theo x, từ đó tìm x theo a

- Tính thể tích khối chóp $S_{ABCD}=\frac{1}{3}SM.S_{ABCD}.$

Cách giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Vì $\Delta SAB$ đều nên $SM\perp AB.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)=AB\\ SM\subset \left(SAB\right),SM\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow SM\perp \left(ABCD\right).$

Vì $AM//CD\Rightarrow AM//\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=d\left(M;\left(SCD\right)\right).$

Trong (SMN) kẻ $MK\perp SN$ ta có:

$\left\{\begin{array}{l}CD\perp MN\\ CD\perp SM\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SMN\right)\Rightarrow CD\perp MK,\left\{\begin{array}{l}MK\perp SN\\ MK\perp CD\end{array}\right.\Rightarrow MK\perp \left(SCD\right)$

$\Rightarrow d\left(M;\left(SCD\right)\right)=MK=\frac{3\sqrt{7}a}{7}.$

Đặt $AB=x\Rightarrow MN=AD=x,SM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{3}}{2}.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SMN ta có:

$\frac{1}{M{K}^2}=\frac{1}{S{M}^2}+\frac{1}{M{H}^2}\Rightarrow \frac{1}{{\left(\frac{3a\sqrt{7}}{7}\right)}^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{{\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)}^2}\iff \frac{7}{9a^2}=\frac{7}{3x^2}\iff x=a\sqrt{3}.$

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là $V=\frac{1}{3}SM.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}.{\left(a\sqrt{3}\right)}^2=\frac{3a^3}{3}.$

Chọn B.