Cho số phức $z=a+bi\left(a,b\in ℝ\right)$ thỏa mãn $4\left(z-\overline{z}\right)-15i=i{\left(z+\overline{z}-1\right)}^2$ và môđun của số phức $z-\frac{1}{2}+3i$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị $\frac{a}{4}+b$ bằng 

Phương pháp:

- Thay z = a + bi vào biểu thức $4\left(z-\overline{z}\right)-15i=i{\left(z+\overline{z}-1\right)}^2,$ từ đó tìm mối liên hệ giữa a, b và tìm điều kiện của b

- Tính $\left|z-\frac{1}{2}+3i\right|$ theo b

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN của biểu thức.

Cách giải:

Ta có: $z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi.$

Khi đó:

     $4\left(z-\overline{z}\right)-15i=i{\left(z+\overline{z}-1\right)}^2$

$\iff 4\left(a+bi-a+bi\right)-15i=i{\left(a+bi+a-bi-1\right)}^2$

$\iff 8b-15={\left(2a-1\right)}^2$

Do ${\left(2a-1\right)}^2\ge 0\forall a$ nên $8b-15\ge 0\iff b\ge \frac{15}{8}.$

Ta có

$\left|z-\frac{1}{2}+3i\right|=\left|\left(a-\frac{1}{2}\right)+\left(b+3\right)i\right|$

$=\sqrt{{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(b+3\right)}^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(2a-1\right)}^2+{\left(2b+6\right)}^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{8a-15+{\left(2b+6\right)}^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{4b^2+32b+21}\left(b\ge \frac{15}{8}\right)$

Xét hàm số $f\left(x\right)=4x^2+32x+21$ với $x\ge \frac{15}{8}$ ta có $f\text{'}\left(x\right)=8x+32>0,\forall x\ge \frac{15}{8}.$

$\Rightarrow$ Hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên $\left[\frac{15}{8};+\infty \right),$ do đó $f\left(x\right)\ge f\left(\frac{15}{8}\right)=\frac{1521}{16}.$

Khi đó $\min \left|z-\frac{1}{2}+3i\right|=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1521}{16}}=\frac{39}{8}\iff b=\frac{15}{8}\Rightarrow a=\frac{1}{2}.$

Vậy khi môđun của số phức $z-\frac{1}{2}+3i$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\frac{a}{4}+b=\frac{1}{8}+\frac{15}{8}=2.$

Chọn D.