Cho số phức z=a+bia,b∈ℝ thỏa mãn 4z−z¯−15i=iz+z¯−12 và môđun của số phức z−12+3i đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị a4+b bằng A. 3 B. 4 C. 1 D. 2

Phương pháp: - Thay z = a + bi vào biểu thức 4z−z¯−15i=iz+z¯−12, từ đó tìm mối liên hệ giữa a, b và tìm điều kiện của b - Tính z−12+3i theo b - Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN của biểu thức. Cách giải: Ta có: z=a+bi⇒z¯=a−bi. Khi đó: 4z−z¯−15i=iz+z¯−12 ⇔4a+bi−a+bi−15i=ia+bi+a−bi−12 ⇔8b−15=2a−12 Do 2a−12≥0 ∀a nên 8b−15≥0⇔b≥158. Ta có z−12+3i=a−12+b+3i =a−122+b+32 =122a−12+2b+62 =128a−15+2b+62 =124b2+32b+21b≥158 Xét hàm số fx=4x2+32x+21 với x≥158 ta có f'x=8x+32>0,∀x≥158. ⇒ Hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên 158;+∞, do đó fx≥f158=152116. Khi đó minz−12+3i=12152116=398⇔b=158⇒a=12. Vậy khi môđun của số phức z−12+3i đạt giá trị nhỏ nhất thì a4+b=18+158=2. Chọn D.

Câu hỏi:

04/05/2022 176

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $4 (z - \bar{z}) - 15 i = i {(z + \bar{z} - 1)}^{2}$ và môđun của số phức $z - \frac{1}{2} + 3 i$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị $\frac{a}{4} + b$ bằng

A. 3

B. 4

C. 1

D. 2

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

- Thay z = a + bi vào biểu thức $4 (z - \bar{z}) - 15 i = i {(z + \bar{z} - 1)}^{2},$ từ đó tìm mối liên hệ giữa a, b và tìm điều kiện của b

- Tính $|z - \frac{1}{2} + 3 i|$ theo b

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN của biểu thức.

Cách giải:

Ta có: $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i .$

Khi đó:

$4 (z - \bar{z}) - 15 i = i {(z + \bar{z} - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow 4 (a + b i - a + b i) - 15 i = i {(a + b i + a - b i - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow 8 b - 15 = {(2 a - 1)}^{2}$

Do ${(2 a - 1)}^{2} \geq 0 \forall a$ nên $8 b - 15 \geq 0 \Leftrightarrow b \geq \frac{15}{8} .$

Ta có

$|z - \frac{1}{2} + 3 i| = |(a - \frac{1}{2}) + (b + 3) i|$

$= \sqrt{{(a - \frac{1}{2})}^{2} + {(b + 3)}^{2}}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{{(2 a - 1)}^{2} + {(2 b + 6)}^{2}}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{8 a - 15 + {(2 b + 6)}^{2}}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{4 b^{2} + 32 b + 21} (b \geq \frac{15}{8})$

Xét hàm số $f (x) = 4 x^{2} + 32 x + 21$ với $x \geq \frac{15}{8}$ ta có $f' (x) = 8 x + 32 > 0, \forall x \geq \frac{15}{8} .$

$\Rightarrow$ Hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên $[\frac{15}{8}; + \infty),$ do đó $f (x) \geq f (\frac{15}{8}) = \frac{1521}{16} .$

Khi đó $\min |z - \frac{1}{2} + 3 i| = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1521}{16}} = \frac{39}{8} \Leftrightarrow b = \frac{15}{8} \Rightarrow a = \frac{1}{2} .$

Vậy khi môđun của số phức $z - \frac{1}{2} + 3 i$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\frac{a}{4} + b = \frac{1}{8} + \frac{15}{8} = 2.$

Chọn D.

Bình luận

Câu 1:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{2} (2 a^{2})$ bằng

A. $2 \log_{2} (2 a)$

B. $4 \log_{2} a$

C. $1 + 2 \log_{2} a$

D. $\frac{1}{2} \log_{2} (2 a)$

Xem đáp án » 03/05/2022 18,053

Câu 2:

Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng

A. $2 π r l$

B. $π r^{2}$

C. $\frac{1}{3} π r^{2} l$

D. $π r l$

Xem đáp án » 03/05/2022 15,537

Câu 3:

Tập xác định của hàm số $y = {(x - 1)}^{- 2}$ là

A. $ℝ \ \{1\}$

B. $(1; + \infty)$

C. $[1; + \infty)$

D. $ℝ$

Xem đáp án » 03/05/2022 12,676

Câu 4:

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^{2} + 2 z + 5 = 0$ là

A. -1 - 2i

B. 1 - 2i

C. 1 + 2i

D. -1 + 2i

Xem đáp án » 03/05/2022 8,375

Câu 5:

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x - m}{x + 2}$ (m là tham số). Để $\min_{x \in [- 1; 1]} f (x) = \frac{1}{3}$ thì $m = \frac{a}{b} (a \in ℤ, b \in ℕ, b > 0) .$ Tổng a + b bằng

A. -10

B. 10

C. 4

D. -4

Xem đáp án » 03/05/2022 6,781

Câu 6:

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{2 x + 1} > 3^{3 - x}$ là

A. $x > - \frac{2}{3}$

B. $x > \frac{2}{3}$

C. $x < \frac{2}{3}$

D. $x > \frac{3}{2}$

Xem đáp án » 03/05/2022 5,742

Câu 7:

Phương trình $\log_{5} (2 x - 3) = 1$ có nghiệm là

A. x = 2

B. x = 4

C. x = 5

D. x = 3

Xem đáp án » 03/05/2022 4,439

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $4 (z - \bar{z}) - 15 i = i {(z + \bar{z} - 1)}^{2}$ và môđun của số phức $z - \frac{1}{2} + 3 i$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị $\frac{a}{4} + b$ bằng

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{2} (2 a^{2})$ bằng

Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng

Tập xác định của hàm số $y = {(x - 1)}^{- 2}$ là

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^{2} + 2 z + 5 = 0$ là

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x - m}{x + 2}$ (m là tham số). Để $\min_{x \in [- 1; 1]} f (x) = \frac{1}{3}$ thì $m = \frac{a}{b} (a \in ℤ, b \in ℕ, b > 0) .$ Tổng a + b bằng

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{2 x + 1} > 3^{3 - x}$ là

Phương trình $\log_{5} (2 x - 3) = 1$ có nghiệm là

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho số phức z=a+bia,b∈ℝ thỏa mãn 4z−z¯−15i=iz+z¯−12 và môđun của số phức z−12+3i đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị a4+b bằng

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Với a là số thực dương tùy ý, log22a2 bằng

Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng

Tập xác định của hàm số y=x−1−2 là

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z2+2z+5=0 là

Cho hàm số fx=2x−mx+2 (m là tham số). Để minx∈−1;1fx=13 thì m=aba∈ℤ,b∈ℕ,b>0. Tổng a + b bằng

Tập nghiệm của bất phương trình 32x+1>33−x là

Phương trình log52x−3=1 có nghiệm là

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $4 (z - \bar{z}) - 15 i = i {(z + \bar{z} - 1)}^{2}$ và môđun của số phức $z - \frac{1}{2} + 3 i$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị $\frac{a}{4} + b$ bằng

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{2} (2 a^{2})$ bằng

Tập xác định của hàm số $y = {(x - 1)}^{- 2}$ là

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^{2} + 2 z + 5 = 0$ là

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x - m}{x + 2}$ (m là tham số). Để $\min_{x \in [- 1; 1]} f (x) = \frac{1}{3}$ thì $m = \frac{a}{b} (a \in ℤ, b \in ℕ, b > 0) .$ Tổng a + b bằng

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{2 x + 1} > 3^{3 - x}$ là

Phương trình $\log_{5} (2 x - 3) = 1$ có nghiệm là