Cho số phức z=a+bia,b∈ℝ thỏa mãn 4z−z¯−15i=iz+z¯−12 và môđun của số phức z−12+3i đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị a4+b bằng A. 3 B. 4 C. 1 D. 2

Phương pháp: - Thay z = a + bi vào biểu thức 4z−z¯−15i=iz+z¯−12, từ đó tìm mối liên hệ giữa a, b và tìm điều kiện của b - Tính z−12+3i theo b - Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN của biểu thức. Cách giải: Ta có: z=a+bi⇒z¯=a−bi. Khi đó: 4z−z¯−15i=iz+z¯−12 ⇔4a+bi−a+bi−15i=ia+bi+a−bi−12 ⇔8b−15=2a−12 Do 2a−12≥0 ∀a nên 8b−15≥0⇔b≥158. Ta có z−12+3i=a−12+b+3i =a−122+b+32 =122a−12+2b+62 =128a−15+2b+62 =124b2+32b+21b≥158 Xét hàm số fx=4x2+32x+21 với x≥158 ta có f'x=8x+32>0,∀x≥158. ⇒ Hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên 158;+∞, do đó fx≥f158=152116. Khi đó minz−12+3i=12152116=398⇔b=158⇒a=12. Vậy khi môđun của số phức z−12+3i đạt giá trị nhỏ nhất thì a4+b=18+158=2. Chọn D.

Câu hỏi:

04/05/2022 196

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $4 (z - \bar{z}) - 15 i = i {(z + \bar{z} - 1)}^{2}$ và môđun của số phức $z - \frac{1}{2} + 3 i$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị $\frac{a}{4} + b$ bằng

A. 3

B. 4

C. 1

D. 2

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

- Thay z = a + bi vào biểu thức $4 (z - \bar{z}) - 15 i = i {(z + \bar{z} - 1)}^{2},$ từ đó tìm mối liên hệ giữa a, b và tìm điều kiện của b

- Tính $|z - \frac{1}{2} + 3 i|$ theo b

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN của biểu thức.

Cách giải:

Ta có: $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i .$

Khi đó:

$4 (z - \bar{z}) - 15 i = i {(z + \bar{z} - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow 4 (a + b i - a + b i) - 15 i = i {(a + b i + a - b i - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow 8 b - 15 = {(2 a - 1)}^{2}$

Do ${(2 a - 1)}^{2} \geq 0 \forall a$ nên $8 b - 15 \geq 0 \Leftrightarrow b \geq \frac{15}{8} .$

Ta có

$|z - \frac{1}{2} + 3 i| = |(a - \frac{1}{2}) + (b + 3) i|$

$= \sqrt{{(a - \frac{1}{2})}^{2} + {(b + 3)}^{2}}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{{(2 a - 1)}^{2} + {(2 b + 6)}^{2}}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{8 a - 15 + {(2 b + 6)}^{2}}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{4 b^{2} + 32 b + 21} (b \geq \frac{15}{8})$

Xét hàm số $f (x) = 4 x^{2} + 32 x + 21$ với $x \geq \frac{15}{8}$ ta có $f' (x) = 8 x + 32 > 0, \forall x \geq \frac{15}{8} .$

$\Rightarrow$ Hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên $[\frac{15}{8}; + \infty),$ do đó $f (x) \geq f (\frac{15}{8}) = \frac{1521}{16} .$

Khi đó $\min |z - \frac{1}{2} + 3 i| = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1521}{16}} = \frac{39}{8} \Leftrightarrow b = \frac{15}{8} \Rightarrow a = \frac{1}{2} .$

Vậy khi môđun của số phức $z - \frac{1}{2} + 3 i$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\frac{a}{4} + b = \frac{1}{8} + \frac{15}{8} = 2.$

Chọn D.

Bình luận

Câu 1:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{2} (2 a^{2})$ bằng

A. $2 \log_{2} (2 a)$

B. $4 \log_{2} a$

C. $1 + 2 \log_{2} a$

D. $\frac{1}{2} \log_{2} (2 a)$

Xem đáp án » 03/05/2022 19,182

Câu 2:

Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng

A. $2 π r l$

B. $π r^{2}$

C. $\frac{1}{3} π r^{2} l$

D. $π r l$

Xem đáp án » 03/05/2022 16,163

Câu 3:

Tập xác định của hàm số $y = {(x - 1)}^{- 2}$ là

A. $ℝ \ \{1\}$

B. $(1; + \infty)$

C. $[1; + \infty)$

D. $ℝ$

Xem đáp án » 03/05/2022 13,276

Câu 4:

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^{2} + 2 z + 5 = 0$ là

A. -1 - 2i

B. 1 - 2i

C. 1 + 2i

D. -1 + 2i

Xem đáp án » 03/05/2022 8,462

Câu 5:

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{2 x + 1} > 3^{3 - x}$ là

A. $x > - \frac{2}{3}$

B. $x > \frac{2}{3}$

C. $x < \frac{2}{3}$

D. $x > \frac{3}{2}$

Xem đáp án » 03/05/2022 7,212

Câu 6:

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x - m}{x + 2}$ (m là tham số). Để $\min_{x \in [- 1; 1]} f (x) = \frac{1}{3}$ thì $m = \frac{a}{b} (a \in ℤ, b \in ℕ, b > 0) .$ Tổng a + b bằng

A. -10

B. 10

C. 4

D. -4

Xem đáp án » 03/05/2022 6,959

Câu 7:

Phương trình $\log_{5} (2 x - 3) = 1$ có nghiệm là

A. x = 2

B. x = 4

C. x = 5

D. x = 3

Xem đáp án » 03/05/2022 4,857

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $4 (z - \bar{z}) - 15 i = i {(z + \bar{z} - 1)}^{2}$ và môđun của số phức $z - \frac{1}{2} + 3 i$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị $\frac{a}{4} + b$ bằng

500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025)

250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)

Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)

Bình luận

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{2} (2 a^{2})$ bằng

Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng

Tập xác định của hàm số $y = {(x - 1)}^{- 2}$ là

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^{2} + 2 z + 5 = 0$ là

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{2 x + 1} > 3^{3 - x}$ là

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x - m}{x + 2}$ (m là tham số). Để $\min_{x \in [- 1; 1]} f (x) = \frac{1}{3}$ thì $m = \frac{a}{b} (a \in ℤ, b \in ℕ, b > 0) .$ Tổng a + b bằng

Phương trình $\log_{5} (2 x - 3) = 1$ có nghiệm là

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho số phức z=a+bia,b∈ℝ thỏa mãn 4z−z¯−15i=iz+z¯−12 và môđun của số phức z−12+3i đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị a4+b bằng

Bình luận

Với a là số thực dương tùy ý, log22a2 bằng

Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng

Tập xác định của hàm số y=x−1−2 là

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z2+2z+5=0 là

Tập nghiệm của bất phương trình 32x+1>33−x là

Cho hàm số fx=2x−mx+2 (m là tham số). Để minx∈−1;1fx=13 thì m=aba∈ℤ,b∈ℕ,b>0. Tổng a + b bằng

Phương trình log52x−3=1 có nghiệm là

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $4 (z - \bar{z}) - 15 i = i {(z + \bar{z} - 1)}^{2}$ và môđun của số phức $z - \frac{1}{2} + 3 i$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị $\frac{a}{4} + b$ bằng

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{2} (2 a^{2})$ bằng

Tập xác định của hàm số $y = {(x - 1)}^{- 2}$ là

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^{2} + 2 z + 5 = 0$ là

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{2 x + 1} > 3^{3 - x}$ là

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x - m}{x + 2}$ (m là tham số). Để $\min_{x \in [- 1; 1]} f (x) = \frac{1}{3}$ thì $m = \frac{a}{b} (a \in ℤ, b \in ℕ, b > 0) .$ Tổng a + b bằng

Phương trình $\log_{5} (2 x - 3) = 1$ có nghiệm là