Xét các số phức z thỏa mãn $\left|z-i\right|=\left|z+3i\right|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left|z+2-i\right|+\left|z-3-3i\right|$ bằng

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập hợp biểu diễn số phức thỏa mãn |z−i|=|z+3i| và biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.

Bước 2: Biểu diễn số phức $z_1=i-2;z_2=3+3i$  trên mặt phẳng tọa độ và tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|z-z_1\right|+\left|z-z_2\right|$ 

$\left|z-z_0\right|$ là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm biểu diễn của z và z₀

Giải chi tiết:

Bước 1: Tìm tập hợp biểu diễn số phức thỏa mãn $\left|z-i\right|=\left|z+3i\right|$ và biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.

Gọi A(0;1) là điểm biểu diễn số phức i

B(0;−3) là điểm biểu diễn số phức −3i

M(a;b) là điểm biểu diễn số phức $z=a+bi$ 

Khi đó $\left|z-i\right|=\left|z+3i\right|$ tương đương với điểm M là điểm thỏa mãn: MA=MB

Khi đó tập hợp điểm M là đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

Gọi H là trung điểm của AB $\Rightarrow H\left(0;-1\right)$ 

Ta có đường thẳng $d:y=-1$.

Bước 2: Biểu diễn số phức $z_1=-2+i;z_2=3+3i$ trên mặt phẳng tọa độ và tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|z-z_1\right|+\left|z-z_2\right|$ 

Gọi C, D lần lượt là điểm biểu diễn số phức $z_1=-2+i;z_2=3+3i$ 

Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MC+MD.

Lấy điểm D’ đối xứng D qua d.

 $\Rightarrow MC+MD=MC+M{D}^{\text{'}}\le C{D}^{\text{'}}$

Đường thẳng DD’ qua D và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là: x=3

⇒ Giao điểm của DD’ và d là K(3;-1)

K là trung điểm của DD’ nên D’(3;-5)

$C{D}^{\text{'}}=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left|z+2-i\right|+\left|z-3-3i\right|$ là $\sqrt{61}$ 

Chọn A