Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):-x+2y+2x-3=0$, mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-10x-4y-6z+2=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng P, đi qua $A(3;1;2)$ và cắt (S) tại 2 điểm M, N. Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất là

Phương pháp giải:

Bước 1: Kẻ AH vuông góc với SB. Chứng minh AH⊥(SBC)

Bước 2: Tính AH

Giải chi tiết:

Bước 1: Kẻ AH vuông góc với SB. Chứng minh $AH=d\left(A,\left(SBC\right)\right)$ 

Kẻ AH vuông góc với SB.

Ta có:  

$\left\{\begin{array}{l}\text{SA}\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\ BC\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)=>BC\perp AH$ 

 Lại có $AH\perp SB=>AH\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A,\left(SBC\right)\right)$ 

Bước 2: Tính AH

Xét tam giác vuông ABC có: $AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=a\sqrt{3}$ 

Xét tam giác vuông SAB có:  $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{4}{3a^2}=>AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 

Chọn D

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ 

Tách các bộ số chia hết cho 3, chia 3 dư 1 và chia 3 dư 2.

Bước 2: Xét các trường hợp bộ số chia hết cho 3

+) a, b, c đều chia hết cho 3 $\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c=\text{{}3;6;9\}$

+) $a,b,c\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{1;4;7\right\}$ 

+) $a,b,c\equiv 2\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{2;5;8\right\}$.

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

Giải chi tiết:

Bước 1:

Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$

Từ các số bài cho ta chia thành 3 bộ số:

+ Bộ số chia hết cho 3 là: 3; 6; 9

+ Bộ số chia cho 3 dư 1 là: 1; 4; 7

+ Bộ số chia cho 3 dư 2 là: 2; 5; 8

Bước 2:

Xét các trường hợp sau:

+) a, b, c đều chia hết cho 3 $\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c=\text{{}3;6;9\}$ Có 3! số.

+) $a,b,c\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{1;4;7\right\}$=> Có 3! số.

+) $a,b,c\equiv 2\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{2;5;8\right\}$ ⇒ Có 3!số.

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2  

$3!.C_3^1.C_3^1.C_3^1=162$ 

Vậy có 3.3!+162=180 số thỏa mãn đề bài.