Trong hình vẽ, xe A kéo xe B bằng một sợi dây dài 39m qua một ròng rọc ở độ cao 12m. Xe A xuất phát từ N và chạy với vận tốc không đổi 2 m/s theo chiều mũi tên.

a) Đặt $AN=x,0\le x\le 18$ và $BN=y$, (đơn vị mét). Tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y .

b) Tính vận tốc của xe B khi xe A cách N một đoạn 5m.

a) Phương pháp giải:

Coi M, A, B là một tam giác và N thuộc cạnh AB

Bước 1: Xác định AM+BMAM+BM, MN

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa x và y.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định AM + BM, MN

Coi M,A,B là một tam giác và N thuộc cạnh AB

Sợi dây dài $39 \text{m}\Rightarrow AM+BM=39$.

Có MN=12.

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa  và y.

Theo định lý py-ta-go ta được:

$\begin{array}{l}A{M}^2=A{N}^2+{12}^2=x^2+144\\ B{M}^2=B{N}^2+{12}^2=y^2+144\\ AM+BM=39\\ \iff \sqrt{x^2+144}+\sqrt{y^2+144}=39\end{array}$

Vậy hệ thức cần tìm là $\sqrt{x^2+144}+\sqrt{y^2+144}=39$

b) Phương pháp giải:

Gọi t là thời gian xe A di chuyển.

Bước 1: Tìm mối quan hệ giữa x và t

Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa y và t

Bước 3: Tính quãng đường tại t=2,5(s).

Giải chi tiết:

Bước 1: Tìm mối quan hệ giữa x và t

Khi A sang trái thì x tăng dần và y giảm dần

Tạo mối quan hệ giữa y và t

Vì xe A chuyển động đều với vận tốc là 2m/s nên mối quan hệ giữa x và t là: $x=v.t=2t$ 

Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa y và t

Mà ta có $\sqrt{x^2+144}+\sqrt{y^2+144}=39$ nên:

$\sqrt{4t^2+144}+\sqrt{y^2+144}=39$

$\sqrt{y^2+144}=39-2\sqrt{t^2+36}$ 

$\begin{array}{l}\iff y^2+144={39}^2+4\left(t^2+36\right)-4.39\sqrt{t^2+36}\\ \iff y^2=4t^2+39-156\sqrt{t^2+36}\\ y=\sqrt{4t^2-156\sqrt{t^2+36}+{39}^2}\end{array}$ 

Quãng đường A đi được là 5m nên ta có t=2,5(s)

Bước 3: Tính quãng đường tại t=2,5(s)

Vận tốc tại thời điểm t=2,5(s) của B là y′(2,5). Khi đó

$y\text{'}=\frac{\left(4t^2-156\sqrt{t^2+36}+39\right)\text{'}}{2\sqrt{4t^2-156\sqrt{t^2+36}+{39}^2}}$ 

$=\frac{8t-156.\frac{t}{\sqrt{t^2+36}}}{2\sqrt{4t^2-156\sqrt{t^2+36}+{39}^2}}$ 

$=\frac{4t\left(2-39.\frac{t}{\sqrt{t^2+36}}\right)}{2\sqrt{4t^2-156\sqrt{t^2+36}+{39}^2}}$ 

$=\frac{2t\left(2\sqrt{t^2+36}-39t\right)}{\sqrt{t^2+36}\sqrt{4t^2-156\sqrt{t^2+36}+{39}^2}}$

Vậy $y^{\text{'}}\left(2,5\right)\approx -0,867$.

Vận tốc tức thời của xe B tại thời điểm xe A cách N 5m là -0,867(m/s).