Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng $\phi$ và $\sin \phi =\frac{\sqrt{5}}{5}$. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng: 

Phương pháp:

- Gọi H là trung điểm của AB. Chứng minh $SH\perp \left(ABCD\right)$.

- Xác định góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Chứng minh $d\left(A;\left(SCD\right)\right)=d\left(H;\left(SCD\right)\right)$, dựng $d\left(H;\left(SCD\right)\right)$.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $d\left(H;\left(SCD\right)\right)$.

Cách giải:

Gọi H là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB cân tại S nên $SH\perp AB$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)=AB\\ SH\subset \left(SAB\right),SH\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right).$

Gọi K là trung điểm của CD ta có $\left\{\begin{array}{l}CD\perp HK\\ CD\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SHK\right)\Rightarrow CD\perp SK.$

$\left\{\begin{array}{l}\left(SCD\right)\cap \left(ABCD\right)=CD\\ SK\subset \left(SCD\right),SK\perp CD\\ HK\subset \left(ABCD\right),HK\perp CD\end{array}\right.\Rightarrow \angle \left(\left(SCD\right);\left(ABCD\right)\right)=\angle \left(SK;HK\right)=\angle SKH=\phi .$

Vì $AH//CD\Rightarrow AH//\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=d\left(H;\left(SCD\right)\right)$.

Trong (SHK) kẻ $HI\perp SK\left(I\in SK\right)$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}HI\perp SK\\ HI\perp CD\left(CD\perp \left(SHK\right)\right)\end{array}\right.\Rightarrow HI\perp \left(SCD\right)$

$\Rightarrow d\left(H;\left(SCD\right)\right)=HI.$

Xét tam giác vuông HIK ta có $\sin \phi =\sin \angle SKH=\frac{HI}{HK}\Rightarrow HI=HK.\sin \phi =2a.\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.$

Vậy $d\left(S;\left(SCD\right)\right)=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.$

Chọn C.