Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC đều”, Q: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng 60°”, hãy phát biểu hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P và xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề đó. Nếu cả hai mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.

a) Phủ định của mệnh đề “ $\forall x\in ℝ$, x² ≠ 2x – 2” là mệnh đề “$\exists x\in ℝ$ , x² = 2x – 2”.

Mệnh đề phủ định trên là mệnh đề sai, thật vậy ta xét phương trình x² = 2x – 2

⇔ x² – 2x + 2 = 0

Đây là phương trình bậc hai với ∆' = (– 1)² – 1 . 2 = – 1 < 0

Do đó phương trình vô nghiệm trên tập số thực.

Nghĩa là x² ≠ 2x – 2 với mọi số thực x.

Vậy mệnh đề phủ định trên là mệnh đề sai. 

b) Phủ định của mệnh đề “$\forall x\in ℝ$ , x² ≤ 2x – 1” là mệnh đề “$\exists x\in ℝ$ , x² > 2x – 1”.

Mệnh đề phủ định này là mệnh đề đúng. Để chứng minh mệnh đề đúng, ta chỉ cần chỉ ra một giá trị cụ thể của x để nhận được mệnh đề đúng.

Thật vậy, chọn x = 2, ta thấy 2² = 4 và 2 . 2 – 1 = 4 – 1 = 3, vì 4 > 3 nên 2² > 2 . 2 – 1.

Vậy mệnh đề phủ định là mệnh đề đúng.

c) Phủ định của mệnh đề “$\exists x\in ℝ,x+\frac{1}{x}\ge 2$ ” là mệnh đề “$\forall x\in ℝ,x+\frac{1}{x}<2$ ”.

Mệnh đề phủ định trên là mệnh đề sai. Thật vậy, ta chỉ cần lấy bất kì một giá trị x để nhận được mệnh đề sai.

Chọn x = 4, ta thấy $4+\frac{1}{4}=\mathrm{4,25}$  > 2.

Vậy mệnh đề phủ định là mệnh đề sai.

d) Phủ định của mệnh đề “$\exists x\in ℝ$ , x² – x + 1 < 0” là mệnh đề “$\forall x\in ℝ$ , x² – x + 1 ≥ 0”.

Mệnh đề phủ định này là mệnh đề đúng.

Ta có: x² – x + 1 = $x^2-2.x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0\forall x\in ℝ$ .

a) Phủ định của mệnh đề A: “  $\frac{5}{12}$ là một phân số” là mệnh đề $\overline{A}$ : “  $\frac{5}{12}$ không phải là một phân số”, mệnh đề phủ định này sai do A đúng.

b) Phủ định của mệnh đề B: “Phương trình x² + 3x + 2 = 0 có nghiệm” là mệnh đề $\overline{B}$ : “Phương trình x² + 3x + 2 = 0 vô nghiệm”.

Ta có x² + 3x + 2 = 0 là phương trình bậc hai có ∆ = 3² – 4 . 1 . 2 = 9 – 8 = 1 > 0 nên phương trình có nghiệm, vậy mệnh đề B đúng nên mệnh đề $\overline{B}$  sai.

c) Phủ định của mệnh đề C: “2² + 2³ = 2^{2 + 3}” là mệnh đề $\overline{C}$ : “2² + 2³ ≠ 2^{2 + 3}”.

Ta có: 2² + 2³ = 4 + 8 = 12

          2^{2 + 3}  = 2⁵ = 32

Do đó 2² + 2³ ≠ 2^{2 + 3}  

Vậy mệnh đề C sai và mệnh đề $\overline{C}$  đúng. 

d) Phủ định của mệnh đề D: “Số 2 025 chia hết cho 15” là mệnh đề $\overline{D}$ : “Số 2 025 không chia hết cho 15”.

Ta có: 2 025 : 15 = 135 nên 2 025 chia hết cho 15.

Vậy mệnh đề D đúng nên mệnh đề phủ định $\overline{D}$  sai.