Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{3x-2}$ trên khoảng $\left(\frac{2}{3};+\infty \right).$ Tìm F(x) biết F(1) = 5.

Phương pháp:

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

Cách giải:

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{1\right\}.$ Ta có $y=\frac{2x-1}{x-1}\Rightarrow y\text{'}=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}<0\forall x\in D.$

Vậy hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$ nghịch biến trên $\left(-\infty ;1\right),\left(1;+\infty \right).$

Chọn A.

Phương pháp:

- Tìm TXĐ.

- Sử dụng công thức tính đạo hàm $\left(\ln u\right)\text{'}=\frac{u\text{'}}{u}.$

- Giải bất phương trình y' < 0 và suy ra khoảng nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

Vì $x^2+4x+7={\left(x+2\right)}^2+3>0\forall x\in ℝ$ nên TXĐ của hàm số là D = $\mathrm{ℝ}$.

Ta có $y=\ln \left(x^2+4x+7\right)\Rightarrow y\text{'}=\frac{2x+4}{x^2+4x+7}.$

Xét $y\text{'}<0\iff \frac{2x+4}{x^2+4x+7}<0\iff 2x+4<0\iff x<-2.$

Vậy hàm số $y=\ln \left(x^2+4x+7\right)$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right).$

Chọn B.