Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}.$ Phát biểu nào sau đây đúng?

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: $\int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln \left|ax+b\right|+C.$

Cách giải:

$F\left(x\right)=\int \frac{1}{3x-2}dx=\frac{1}{3}\ln \left|3x-2\right|+C.$

Vì $x\in \left(\frac{2}{3};+\infty \right)\Rightarrow 3x-2>0\Rightarrow F\left(x\right)=\frac{1}{3}\ln \left(3x-2\right)+C.$

Mà $F\left(1\right)=5\Rightarrow C=5.$

Vậy $F\left(x\right)=\frac{1}{3}\ln \left(3x-2\right)+5.$

Chọn D.

Phương pháp:

- Tìm TXĐ.

- Sử dụng công thức tính đạo hàm $\left(\ln u\right)\text{'}=\frac{u\text{'}}{u}.$

- Giải bất phương trình y' < 0 và suy ra khoảng nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

Vì $x^2+4x+7={\left(x+2\right)}^2+3>0\forall x\in ℝ$ nên TXĐ của hàm số là D = $\mathrm{ℝ}$.

Ta có $y=\ln \left(x^2+4x+7\right)\Rightarrow y\text{'}=\frac{2x+4}{x^2+4x+7}.$

Xét $y\text{'}<0\iff \frac{2x+4}{x^2+4x+7}<0\iff 2x+4<0\iff x<-2.$

Vậy hàm số $y=\ln \left(x^2+4x+7\right)$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right).$

Chọn B.