Cho hàm số y=fx thỏa mãn f0=23 và x+x+1f'x=1,∀x≥−1. Biết rằng ∫01fxdx=a2+b15 với a,b∈ℤ. Tính T=a+b. A. -8 B. -24 C. 24 D. 8

Phương pháp giải: - Rút f'x từ giả thiết đề bài cho. - Tìm fx=∫f'xdx, sử dụng công thức tính nguyên hàm: ∫xdx=23xx+C. - Từ giả thiết f0=23 tìm hằng số C và suy ra hàm số fx. - Tính ∫01fxdx với hàm fx vừa tìm được, đưa kết quả về dạng a2+b15. Đồng nhất hệ số tìm a,b và tính tổng T=a+b. Giải chi tiết: Ta có: x+x+1f'x=1∀x≥−1 ⇔f'x=1x+x+1∀x≥−1 ⇔f'x=x+1−x∀x≥−1 ⇒fx=∫x+1−xdx=23x+1x+1−xx+C Mà f0=23 ⇒231−0+C=23⇒C=0 ⇒fx=23x+1x+1−xx Khi đó ta có: ∫01fxdx=23∫01x+1x+1−xxdx =23.25x+12x+1−x2x01 =41542−1−1−0 =162−815 ⇒a=16b=−8 Vậy T=a+b=16+−8=8.

Câu hỏi:

15/05/2022 715

Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn $f (0) = \frac{2}{3}$ và $(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) f^{'} (x) = 1, \forall x \geq - 1$ . Biết rằng $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{a \sqrt{2} + b}{15}$ với $a, b \in ℤ$ . Tính $T = a + b$ .

A. -8

B. -24

C. 24

D. 8

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp giải: - Rút $f^{'} (x)$ từ giả thiết đề bài cho.

- Tìm $f (x) = \int f^{'} (x) d x$ , sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\int \sqrt{x} d x = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C$ .

- Từ giả thiết $f (0) = \frac{2}{3}$ tìm hằng số $C$ và suy ra hàm số $f (x)$ .

- Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$ với hàm $f (x)$ vừa tìm được, đưa kết quả về dạng $\frac{a \sqrt{2} + b}{15}$ . Đồng nhất hệ số tìm $a, b$ và tính tổng $T = a + b$ .

Giải chi tiết: Ta có:

$(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) f^{'} (x) = 1 \forall x \geq - 1$

$\Leftrightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}} \forall x \geq - 1$

$\Leftrightarrow f^{'} (x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \forall x \geq - 1$

$\Rightarrow f (x) = \int (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) d x = \frac{2}{3} ((x + 1) \sqrt{x + 1} - x \sqrt{x}) + C$

Mà $f (0) = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow \frac{2}{3} (1 - 0) + C = \frac{2}{3} \Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow f (x) = \frac{2}{3} ((x + 1) \sqrt{x + 1} - x \sqrt{x})$

Khi đó ta có: $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} ((x + 1) \sqrt{x + 1} - x \sqrt{x}) d x$

$= \frac{2}{3} . \frac{2}{5} {({(x + 1)}^{2} \sqrt{x + 1} - x^{2} \sqrt{x})|}_{0}^{1}$

$= \frac{4}{15} [(4 \sqrt{2} - 1) - (1 - 0)]$

$= \frac{16 \sqrt{2} - 8}{15}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = 16 \\ b = - 8 \end{cases}$

Vậy

T = a + b = 16 + (- 8) = 8

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

A. Chiến lược tăng tốc.

B. Chiến lược phòng ngự.

C. Chiến lược phòng thủ.

D. Chiến lược toàn cầu.

Lời giải

Phương pháp giải: SGK Lịch sử 12, trang 44.

Giải chi tiết: Chính sách đối ngoại của Mĩ sau chiến tranh thế giới thứ hai là chiến lược toàn cầu với mưu đồ bá chủ thế giởi, tiêu diệt chủ nghĩa cộng sản và phong trào giải phóng dân tộc.

Câu 2

Hàm số $f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án: 3

Phương pháp giải: - Tính $f^{'} (x)$ .

- Giải phương trình $f^{'} (x) = 0$ xác định số nghiệm bội lẻ.

Giải chi tiết: Ta có: $f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{2}$

$\Rightarrow f^{'} (x) = 4 x^{3} {(x - 1)}^{2} + x^{4} .2 (x - 1)$

$f^{'} (x) = 2 x^{3} (x - 1) [2 (x - 1) + x]$

$f^{'} (x) = 2 x^{3} (x - 1) (3 x - 2)$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (n g h i e m b o i 3) \\ x = 1 (n g h i e m d o n) \\ x = \frac{2}{3} (n g h i e m d o n) \end{array}$

Vậy hàm số

f (x)

đã cho có 3 điểm cực trị.

Câu 3

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

A. -8

B. -2

C. 2

D. 8

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Nhận định nào sau đây đúng về dân cư nước ta hiện nay?

A. Phân bố rất hợp lí giữa các vùng.

B. Phân bố thưa thớt ở các đồng bằng

C. Tập trung đông ở các vùng miền núi

D. Dân nông thôn nhiều hơn đô thị.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ là:

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

A. $x = \frac{11}{2}$

B. $x = 5$

C. $x = \frac{9}{2}$

D. $x = 6$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(A B C^{'})$ ?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học