Cho hàm số y=fx thỏa mãn f0=23 và x+x+1f'x=1,∀x≥−1. Biết rằng ∫01fxdx=a2+b15 với a,b∈ℤ. Tính T=a+b. A. -8 B. -24 C. 24 D. 8

Phương pháp giải: - Rút f'x từ giả thiết đề bài cho. - Tìm fx=∫f'xdx, sử dụng công thức tính nguyên hàm: ∫xdx=23xx+C. - Từ giả thiết f0=23 tìm hằng số C và suy ra hàm số fx. - Tính ∫01fxdx với hàm fx vừa tìm được, đưa kết quả về dạng a2+b15. Đồng nhất hệ số tìm a,b và tính tổng T=a+b. Giải chi tiết: Ta có: x+x+1f'x=1∀x≥−1 ⇔f'x=1x+x+1∀x≥−1 ⇔f'x=x+1−x∀x≥−1 ⇒fx=∫x+1−xdx=23x+1x+1−xx+C Mà f0=23 ⇒231−0+C=23⇒C=0 ⇒fx=23x+1x+1−xx Khi đó ta có: ∫01fxdx=23∫01x+1x+1−xxdx =23.25x+12x+1−x2x01 =41542−1−1−0 =162−815 ⇒a=16b=−8 Vậy T=a+b=16+−8=8.

Câu hỏi:

15/05/2022 482

Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn $f (0) = \frac{2}{3}$ và $(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) f^{'} (x) = 1, \forall x \geq - 1$ . Biết rằng $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{a \sqrt{2} + b}{15}$ với $a, b \in ℤ$ . Tính $T = a + b$ .

A. -8

B. -24

C. 24

D. 8

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp giải: - Rút $f^{'} (x)$ từ giả thiết đề bài cho.

- Tìm $f (x) = \int f^{'} (x) d x$ , sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\int \sqrt{x} d x = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C$ .

- Từ giả thiết $f (0) = \frac{2}{3}$ tìm hằng số $C$ và suy ra hàm số $f (x)$ .

- Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$ với hàm $f (x)$ vừa tìm được, đưa kết quả về dạng $\frac{a \sqrt{2} + b}{15}$ . Đồng nhất hệ số tìm $a, b$ và tính tổng $T = a + b$ .

Giải chi tiết: Ta có:

$(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) f^{'} (x) = 1 \forall x \geq - 1$

$\Leftrightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}} \forall x \geq - 1$

$\Leftrightarrow f^{'} (x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \forall x \geq - 1$

$\Rightarrow f (x) = \int (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) d x = \frac{2}{3} ((x + 1) \sqrt{x + 1} - x \sqrt{x}) + C$

Mà $f (0) = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow \frac{2}{3} (1 - 0) + C = \frac{2}{3} \Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow f (x) = \frac{2}{3} ((x + 1) \sqrt{x + 1} - x \sqrt{x})$

Khi đó ta có: $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} ((x + 1) \sqrt{x + 1} - x \sqrt{x}) d x$

$= \frac{2}{3} . \frac{2}{5} {({(x + 1)}^{2} \sqrt{x + 1} - x^{2} \sqrt{x})|}_{0}^{1}$

$= \frac{4}{15} [(4 \sqrt{2} - 1) - (1 - 0)]$

$= \frac{16 \sqrt{2} - 8}{15}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = 16 \\ b = - 8 \end{cases}$

Vậy

T = a + b = 16 + (- 8) = 8

.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

A. Chiến lược tăng tốc.

B. Chiến lược phòng ngự.

C. Chiến lược phòng thủ.

D. Chiến lược toàn cầu.

Xem đáp án » 23/05/2022 24,403

Câu 2:

Hàm số $f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem đáp án » 12/07/2024 12,379

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

A. -8

B. -2

C. 2

D. 8

Xem đáp án » 09/05/2022 10,237

Câu 4:

Nhận định nào sau đây đúng về dân cư nước ta hiện nay?

A. Phân bố rất hợp lí giữa các vùng.

B. Phân bố thưa thớt ở các đồng bằng

C. Tập trung đông ở các vùng miền núi

D. Dân nông thôn nhiều hơn đô thị.

Xem đáp án » 25/05/2022 9,156

Câu 5:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ là:

Xem đáp án » 12/07/2024 8,445

Câu 6:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

A. $x = \frac{11}{2}$

B. $x = 5$

C. $x = \frac{9}{2}$

D. $x = 6$

Xem đáp án » 09/05/2022 6,572

Câu 7:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(A B C^{'})$ ?

Xem đáp án » 12/07/2024 5,499

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn $f (0) = \frac{2}{3}$ và $(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) f^{'} (x) = 1, \forall x \geq - 1$ . Biết rằng $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{a \sqrt{2} + b}{15}$ với $a, b \in ℤ$ . Tính $T = a + b$ .

Nhà sách VIETJACK:

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

Hàm số $f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

Nhận định nào sau đây đúng về dân cư nước ta hiện nay?

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ là:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(A B C^{'})$ ?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số y=fx thỏa mãn f0=23 và x+x+1f'x=1,∀x≥−1. Biết rằng ∫01fxdx=a2+b15 với a,b∈ℤ. Tính T=a+b.

Nhà sách VIETJACK:

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

Hàm số fx=x4x−12 có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số fx=12x−1. Tính f''1

Nhận định nào sau đây đúng về dân cư nước ta hiện nay?

Giá trị lớn nhất của hàm số y=−x2+4x−1 là:

Nghiệm của phương trình log32x−3=2 là:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a3. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABCD và ABC'?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn $f (0) = \frac{2}{3}$ và $(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) f^{'} (x) = 1, \forall x \geq - 1$ . Biết rằng $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{a \sqrt{2} + b}{15}$ với $a, b \in ℤ$ . Tính $T = a + b$ .

Hàm số $f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ là:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(A B C^{'})$ ?