Cho hình tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi $A^{\text{'}},B^{\text{'}},C^{\text{'}},D^{\text{'}}$ lần lượt là điểm đối xứng của $A,B,C,D$ qua các mặt phẳng $\left(BCD\right),\left(ACD\right),\left(ABD\right),\left(ABC\right)$. Tính thể tích của khối tứ diện $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$.

Phương pháp giải: - Tứ diện $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ đồng dạng với tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}$.

- Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD,ACD$, gọi $G=AM\cap BN$. Tính $\frac{G{A}^{\text{'}}}{GA}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}$.

- Tính $\frac{V_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}}{V_{ABCD}}=k^3$.

- Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$ là $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

Giải chi tiết:

Dễ dàng nhận thấy tứ diện $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ đồng dạng với tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}$.

Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD,ACD$ ta có $AM\perp \left(BCD\right),BN\perp \left(ACD\right)$.

Gọi $G=AM\cap BN$.

Ta có $G$ là trọng tâm của tứ diện đều $ABCD$ nên $\frac{AG}{AM}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{AG}{A{A}^{\text{'}}}=\frac{3}{8}\Rightarrow \frac{G{A}^{\text{'}}}{GA}=\frac{5}{3}$.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{G{A}^{\text{'}}}{GA}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{5}{3}=k$

$\Rightarrow \frac{V_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}}{V_{ABCD}}=k^3=\frac{125}{27}$.

Mà $ABCD$ là tứ diện đều cạnh 1 nên $V_{ABCD}=\frac{\sqrt{2}}{12}$.

Vậy $V_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{125}{37}.\frac{\sqrt{2}}{12}=\frac{125\sqrt{2}}{324}$.