Câu hỏi:

16/05/2022 291

Cho hình tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ lần lượt là điểm đối xứng của $A, B, C, D$ qua các mặt phẳng $(B C D), (A C D), (A B D), (A B C)$ . Tính thể tích của khối tứ diện $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

A. $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{9 \sqrt{2}}{32}$

C. $\frac{16 \sqrt{2}}{81}$

D. $\frac{125 \sqrt{2}}{324}$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp giải: - Tứ diện $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ đồng dạng với tứ diện $A B C D$ theo tỉ số $k = \frac{A^{'} B^{'}}{A B}$ .

- Gọi $M, N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $B C D, A C D$ , gọi $G = A M \cap B N$ . Tính $\frac{G A^{'}}{G A} = \frac{A^{'} B^{'}}{A B}$ .

- Tính $\frac{V_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}}{V_{A B C D}} = k^{3}$ .

- Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$ là $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ .

Giải chi tiết:

Tính thể tích của khối tứ diện A'B'C'D' (ảnh 1)

Dễ dàng nhận thấy tứ diện $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ đồng dạng với tứ diện $A B C D$ theo tỉ số $k = \frac{A^{'} B^{'}}{A B}$ .

Gọi $M, N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $B C D, A C D$ ta có $A M ⊥ (B C D), B N ⊥ (A C D)$ .

Gọi $G = A M \cap B N$ .

Ta có $G$ là trọng tâm của tứ diện đều $A B C D$ nên $\frac{A G}{A M} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{A G}{A A^{'}} = \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{G A^{'}}{G A} = \frac{5}{3}$ .

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{G A^{'}}{G A} = \frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{5}{3} = k$

$\Rightarrow \frac{V_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}}{V_{A B C D}} = k^{3} = \frac{125}{27}$ .

Mà $A B C D$ là tứ diện đều cạnh 1 nên $V_{A B C D} = \frac{\sqrt{2}}{12}$ .

Vậy $V_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{125}{37} . \frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{125 \sqrt{2}}{324}$ .

Bình luận

Câu 1:

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

A. Chiến lược tăng tốc.

B. Chiến lược phòng ngự.

C. Chiến lược phòng thủ.

D. Chiến lược toàn cầu.

Xem đáp án » 23/05/2022 24,714

Câu 2:

Hàm số $f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem đáp án » 12/07/2024 12,753

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

A. -8

B. -2

C. 2

D. 8

Xem đáp án » 09/05/2022 11,044

Câu 4:

Nhận định nào sau đây đúng về dân cư nước ta hiện nay?

A. Phân bố rất hợp lí giữa các vùng.

B. Phân bố thưa thớt ở các đồng bằng

C. Tập trung đông ở các vùng miền núi

D. Dân nông thôn nhiều hơn đô thị.

Xem đáp án » 25/05/2022 10,209

Câu 5:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ là:

Xem đáp án » 12/07/2024 9,637

Câu 6:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

A. $x = \frac{11}{2}$

B. $x = 5$

C. $x = \frac{9}{2}$

D. $x = 6$

Xem đáp án » 09/05/2022 7,778

Câu 7:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(A B C^{'})$ ?

Xem đáp án » 07/04/2025 6,472

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hình tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ lần lượt là điểm đối xứng của $A, B, C, D$ qua các mặt phẳng $(B C D), (A C D), (A B D), (A B C)$ . Tính thể tích của khối tứ diện $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

Hàm số $f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

Nhận định nào sau đây đúng về dân cư nước ta hiện nay?

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ là:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(A B C^{'})$ ?

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hình tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi A',B',C',D' lần lượt là điểm đối xứng của A,B,C,D qua các mặt phẳng BCD,ACD,ABD,ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A'B'C'D'.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

Hàm số fx=x4x−12 có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số fx=12x−1. Tính f''1

Nhận định nào sau đây đúng về dân cư nước ta hiện nay?

Giá trị lớn nhất của hàm số y=−x2+4x−1 là:

Nghiệm của phương trình log32x−3=2 là:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a3. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABCD và ABC'?

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ lần lượt là điểm đối xứng của $A, B, C, D$ qua các mặt phẳng $(B C D), (A C D), (A B D), (A B C)$ . Tính thể tích của khối tứ diện $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

Hàm số $f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ là:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(A B C^{'})$ ?