Câu hỏi:

20/05/2022 293

Cho các số thực a, b thỏa mãn $\log_{2} (2020 - 2 b^{2}) - 2 b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2}$ .

Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{3} + a^{2} b + 2 a b^{2} + 2 b^{3} + 1$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. (0;1)

B. (1;2)

C. (2;3)

D. (3;4)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

ĐKXĐ: $2020 - 2 b^{2} > 0 \Leftrightarrow b^{2} < 1010 \Leftrightarrow - \sqrt{1010} < b < \sqrt{1010}$

+ Theo đề bài ra, ta có:

$\log_{2} (2020 - 2 b^{2}) - 2 b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2}$

$\Leftrightarrow 1 + \log_{2} (1010 - b^{2}) - 2 b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2}$

$\Leftrightarrow \log_{2} (1010 - b^{2}) + 1010 - b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2} + b^{2} + 1009 (1)$

Xét hàm số sau: $f (t) = \log_{2} t + t (t > 0)$

Ta thấy: $f^{'} (t) = \frac{1}{t . \ln 2} + 1 > 0,$ suy ra hàm số $f (t) = \log_{2} t + t$ đồng biến trên $(0; + \infty)$

Do đó:

$(1) \Leftrightarrow 1010 - b^{2} = a^{2} + b^{2} + 1009$

$\Leftrightarrow a^{2} + 2 b^{2} = 1$

+ Khi đó: $P = a^{3} + a^{2} b + 2 a b^{2} + 2 b^{3} + 1 = (a + b) (a^{2} + 2 b^{2}) + 1 = a + b + 1$

Áp dụng định lí Bunhiacopski cho bộ hai số $\{a; \sqrt{2} b\}$ và $\{1; \frac{1}{\sqrt{2}}\},$ ta có:

{(a + b)}^{2} \leq (a^{2} + 2 b^{2}) (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

(Dấu “=” xảy ra khi )

$\Rightarrow - \sqrt{\frac{3}{2}} \leq a + b \leq \sqrt{\frac{3}{2}}$

Do đó: $P = a + b + 1 \leq \sqrt{\frac{3}{2}} + 1 \in (2; 3)$

Suy ra: $M i n P = \sqrt{\frac{3}{2}} + 1 \in (2; 3)$ khi $a = \frac{\sqrt{6}}{3}, b = \frac{\sqrt{6}}{6} .$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Cạnh $S A = a \sqrt{2}$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) bằng

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{a}{3} .$

D. a

Lời giải

Đáp án D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a (ảnh 1)

Gọi $O = A C \cap B D$ , kẻ $A H ⊥ S O \Rightarrow d (A; (S B D)) = A H = d .$

Cạnh $O A = \frac{A B}{\sqrt{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow \frac{1}{d^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{O A^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{2 a^{2}} \Rightarrow d = a .$

Câu 2

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{3} a^{4}$ bằng

A. $\frac{1}{4} \log_{3} a .$

B. $\frac{1}{4} + \log_{3} a .$

C. $4 \log_{3} a .$

D. $4 + \log_{3} a .$

Lời giải

Đáp án C

Ta có

\log_{3} a^{4} = 4 \log_{3} a .

Câu 3

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} + 4 x + 1$ là

A. $3 x^{3} + 4 x^{2} + x + C .$

B. $x^{3} + 2 x^{2} + x + C .$

C. $3 x^{3} + 2 x^{2} + x + C .$

D. $x^{3} + 4 x^{2} + x + C .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Số phức liên hợp của số phức 1- 4i là

A. -1+ 4i

B. -1 - 4i

C. 1+ 4i

D. - 4+ i

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD với $A B = 6, A D = 3.$ Tính thể tích V của khối trụ, nhận được khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục AB.

A. $54 π .$

B. $48 π .$

C. $75 π .$

D. $36 π .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (1; - 3; 2), B (3; - 1; 4) .$ Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A. (2;2;2)

B. (2;-2;3)

C. (1;1;1)

D. (4;-4;6)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Giải phương trình $2^{2 x - 1} = 8.$

A. x = 2

B. x = 1

C. x = 3

D. x = $\frac{17}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học