Câu hỏi:

20/05/2022 271

Cho các số thực a, b thỏa mãn $\log_{2} (2020 - 2 b^{2}) - 2 b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2}$ .

Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{3} + a^{2} b + 2 a b^{2} + 2 b^{3} + 1$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. (0;1)

B. (1;2)

C. (2;3)

D. (3;4)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

ĐKXĐ: $2020 - 2 b^{2} > 0 \Leftrightarrow b^{2} < 1010 \Leftrightarrow - \sqrt{1010} < b < \sqrt{1010}$

+ Theo đề bài ra, ta có:

$\log_{2} (2020 - 2 b^{2}) - 2 b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2}$

$\Leftrightarrow 1 + \log_{2} (1010 - b^{2}) - 2 b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2}$

$\Leftrightarrow \log_{2} (1010 - b^{2}) + 1010 - b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2} + b^{2} + 1009 (1)$

Xét hàm số sau: $f (t) = \log_{2} t + t (t > 0)$

Ta thấy: $f^{'} (t) = \frac{1}{t . \ln 2} + 1 > 0,$ suy ra hàm số $f (t) = \log_{2} t + t$ đồng biến trên $(0; + \infty)$

Do đó:

$(1) \Leftrightarrow 1010 - b^{2} = a^{2} + b^{2} + 1009$

$\Leftrightarrow a^{2} + 2 b^{2} = 1$

+ Khi đó: $P = a^{3} + a^{2} b + 2 a b^{2} + 2 b^{3} + 1 = (a + b) (a^{2} + 2 b^{2}) + 1 = a + b + 1$

Áp dụng định lí Bunhiacopski cho bộ hai số $\{a; \sqrt{2} b\}$ và $\{1; \frac{1}{\sqrt{2}}\},$ ta có:

{(a + b)}^{2} \leq (a^{2} + 2 b^{2}) (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

(Dấu “=” xảy ra khi )

$\Rightarrow - \sqrt{\frac{3}{2}} \leq a + b \leq \sqrt{\frac{3}{2}}$

Do đó: $P = a + b + 1 \leq \sqrt{\frac{3}{2}} + 1 \in (2; 3)$

Suy ra: $M i n P = \sqrt{\frac{3}{2}} + 1 \in (2; 3)$ khi $a = \frac{\sqrt{6}}{3}, b = \frac{\sqrt{6}}{6} .$

Bình luận

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Cạnh $S A = a \sqrt{2}$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) bằng

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{a}{3} .$

D. a

Xem đáp án » 19/05/2022 4,431

Câu 2:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{3} a^{4}$ bằng

A. $\frac{1}{4} \log_{3} a .$

B. $\frac{1}{4} + \log_{3} a .$

C. $4 \log_{3} a .$

D. $4 + \log_{3} a .$

Xem đáp án » 19/05/2022 3,950

Câu 3:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} + 4 x + 1$ là

A. $3 x^{3} + 4 x^{2} + x + C .$

B. $x^{3} + 2 x^{2} + x + C .$

C. $3 x^{3} + 2 x^{2} + x + C .$

D. $x^{3} + 4 x^{2} + x + C .$

Xem đáp án » 19/05/2022 1,878

Câu 4:

Số phức liên hợp của số phức 1- 4i là

A. -1+ 4i

B. -1 - 4i

C. 1+ 4i

D. - 4+ i

Xem đáp án » 19/05/2022 1,618

Câu 5:

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD với $A B = 6, A D = 3.$ Tính thể tích V của khối trụ, nhận được khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục AB.

A. $54 π .$

B. $48 π .$

C. $75 π .$

D. $36 π .$

Xem đáp án » 19/05/2022 1,467

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (1; - 3; 2), B (3; - 1; 4) .$ Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A. (2;2;2)

B. (2;-2;3)

C. (1;1;1)

D. (4;-4;6)

Xem đáp án » 19/05/2022 1,124

Câu 7:

Giải phương trình $2^{2 x - 1} = 8.$

A. x = 2

B. x = 1

C. x = 3

D. x = $\frac{17}{2}$

Xem đáp án » 19/05/2022 1,082

Cho các số thực a, b thỏa mãn $\log_{2} (2020 - 2 b^{2}) - 2 b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2}$ .

Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{3} + a^{2} b + 2 a b^{2} + 2 b^{3} + 1$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết)

20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)