Diện tích hình vuông có bốn đỉnh nằm trên hai đường thẳng song song \({d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x - 4y + 1 = 0\) và $d_2:\mathrm{ }-x+2y+10=0$ là:

Phương pháp giải:

Ta có 4 đỉnh của hình vuông nằm trên hai đường thẳng song song \({d_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2} \Rightarrow \) cạnh của hình vuông là \(a = d\left( {{d_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}} \right).\)

Khi đó diện tích hình vuông cần tìm là: \(S = {a^2} = {\left[ {d\left( {{d_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}} \right)} \right]^2}.\)

Giải chi tiết:

Ta có 4 đỉnh của hình vuông nằm trên hai đường thẳng song song \({d_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2} \Rightarrow \) cạnh của hình vuông là \(a = d\left( {{d_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}} \right).\)

Gọi $M(0;\mathrm{ }-5)\in d_2.$

Ta có: \({d_1}//{d_2} \Rightarrow d\left( {{d_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}} \right) = d\left( {M;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_1}} \right) = \frac{{\left| {2.0 - 4.\left( { - 5} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{21}}{{2\sqrt 5 }}.\)

Khi đó diện tích hình vuông cần tìm là: \(S = {a^2} = {\left[ {d\left( {{d_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}} \right)} \right]^2} = {\left( {\frac{{21}}{{2\sqrt 5 }}} \right)^2} = \frac{{441}}{{20}}.\)