Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2-t\\ z=1-3t\end{array}$. Đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ \(O\), vuông góc với trục hoành \(Ox\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là:

Phương pháp giải:

- Xác định VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} \) của đường thẳng \(d\) và VTCP \(\overrightarrow {{u_{Ox}}} \) của trục \(Ox\).

- Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), ta có $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\perp Ox\\ \mathrm{\Delta }\mathrm{ }\perp d\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}.\overrightarrow{i}=0\\ \overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}.\overrightarrow{u_d}\mathrm{ }=0\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}\mathrm{ }=[\overrightarrow{i};\overrightarrow{u_d}].$

- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\vec u\left( {a;b;c} \right)\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\\{z = {z_0} + ct}\end{array}} \right.\).

Giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 - 3t}\end{array}} \right.\) có 1 VTCP là $\overrightarrow{u_d}\mathrm{ }=(1;-1;-3)$, trục \(Ox\) có 1 VTCP là \(\vec i = \left( {1;0;0} \right)\).

Gọi $\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}$ là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), ta có

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có 1 VTCP $\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}\mathrm{ }=(0;-3;1)là\mathrm{ }:\mathrm{\Delta }:\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-3t\\ z=t\end{array}\right..$