Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên $[-1;2]$ và thỏa mãn điều kiện $f\left(x\right)=\sqrt{x+2}\mathrm{ }+xf(3-x^2)$. Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx} \).

Phương pháp giải:

- Lấy tích phân từ \( - 1\) đến 2 của hai vế của phương trình đã cho.

- Sử dụng phương pháp tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

- Sử dụng tính chất không phụ thuộc vào biến của tích phân: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)𝑑x\mathrm{ }=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(u\right)𝑑u.$

Giải chi tiết:

Ta có $f\left(x\right)=\sqrt{x+2}\mathrm{ }+xf(3-x^2)$

$\Rightarrow I=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)𝑑x\mathrm{ }=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\sqrt{x+2}𝑑x\mathrm{ }+\underset{-1}{\overset{2}{\int }}xf(3-x^2)𝑑x$

\( \Rightarrow I = {I_1} + {I_2}\)

Xét tích phân \({I_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\sqrt {x + 2} dx} \).

Đặt \(t = \sqrt {x + 2} \)\( \Rightarrow {t^2} = x + 2 \Rightarrow 2tdt = dx\).

Đổi cận: $\{\begin{array}{c}x=-1\Rightarrow t=1\\ x=2\Rightarrow t=2\end{array}.$

$\Rightarrow I_1=\underset{1}{\overset{2}{\int }}t.2t𝑑t\mathrm{ }=2\underset{1}{\overset{2}{\int }}{t}^2𝑑t\mathrm{ }={\frac{2t^3}{3}|}_1^2=\frac{14}{3}.$

Xét tích phân $I_2=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}xf(3-x^2)𝑑x$.

Đặt $u=3-x^2\Rightarrow du=-2xdx$$\Rightarrow xdx=\mathrm{ }-\frac{1}{2}du.$

Đổi cận: $\{\begin{array}{c}x=1\Rightarrow u=2\\ x=2\Rightarrow u=-1\end{array}.$

$\Rightarrow I_2=\underset{2}{\overset{-1}{\int }}-\frac{1}{2}f\left(u\right)du\mathrm{ }=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)𝑑x\mathrm{ }=\frac{1}{2}I$

Vậy \(I = \frac{{14}}{3} + \frac{1}{2}I \Leftrightarrow \frac{1}{2}I = \frac{{14}}{3} \Leftrightarrow I = \frac{{28}}{3}\).