Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Hai mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^0}.\) Gọi \[{V_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {V_2}\] lần lượt là thể tích khối chóp \[S.AHK\] và \[S.ACD\] với \[H,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} K\] lần lượt là trung điểm của \[SC\] và \[SD.\] Tính độ dài đường cao của khối chóp \[S.ABCD\] và tỉ số \[k = \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\]

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tỉ lệ thể tích: Cho các điểm \(M \in SA,N \in SB,P \in SC\) ta có: \(\frac{{{V_{SMNP}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}}.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = \left\{ {SA} \right\}\)\( \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right).\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SD;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AD} \right) = \angle SAD = {45^0}\)

\( \Rightarrow \Delta SAD\) là tam giác vuông cân tại \(A\)\( \Rightarrow h = SA = AD = a\).

Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{V_{S.AHK}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SH}}{{SC}}.\frac{{SK}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.\)