Cho hai hàm f(x) và g(x) có đạo hàm trên [1; 2021] thỏa mãn f(2021) = g(2021) = 0, $\frac{x}{{\left(x+1\right)}^2}g\left(x\right)+2020x=\left(x+1\right)f^{\text{'}}\left(x\right)$ và $\frac{x^3}{x+1}{g}^{\text{'}}\left(x\right)+f\left(x\right)=2021x^2$ với mọi $x\in \left[1;2021\right]$. Tích phân $\underset{1}{\overset{2021}{\int }}\left[\frac{x}{x+1}g\left(x\right)-\frac{x+1}{x}f\left(x\right)\right]\text{d}x$ bằng

Chọn ngẫu nhiên một số trong 20 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số chia hết cho 3 bằng

Với x là số thực dương, đạo hàm của hàm số $y={\log }_{2}x$ là

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+3z-4=0$ và $\left(Q\right):3x+2y-5z-4=0.$ Giao tuyến của (P) và (Q) có phương trình tham số là

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=1\end{array}\right.$ và $d\text{'}:\frac{x-2}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{1}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' là

Một khối nón có chiều cao bằng 12 , đặt trên đáy một hình trụ (các đáy của chúng nằm trên cùng một mặt phẳng, như hình vẽ bên dưới), biết đường kính đáy khối nón bằng bán kính đáy hình trụ. Hình trụ được đổ nước vào cho đến độ cao bằng 12. Độ cao của nước khi đã lấy khối nón ra ngoài hình trụ bằng