Có bao nhiêu số nguyên dương a thỏa mãn 1+ln2a +lna 1+(a−3)2 +a−3≤1 ? A. 4 B. 1 C. 3 D. 2

Chọn D. Điều kiện: a > 0 Vì 1+ln2a>lna≥lna⇒1+ln2a−lna>0. Do đó 1+ln2a+lna1+a−32+a−3≤1⇔1+a−32+a−31+ln2a−lna≤1 ⇔1+a−32+a−3≤1+−lna2+−lna.1 Xét hàm số ft=t+1+t2,t∈ℝ;f't=1+t1+t2=t+1+t21+t2>0,∀t∈ℝ. Suy ra hàm số f'(t) đồng biến trên ℝ Bất phương trình 1⇔fa−3≤f−lna⇔a−3≤−lna⇔a−3+lna≤0. Xét hàm số ga=a−3+lna,a∈0;+∞;g'a=1+1a>0,∀a>1. Hàm số g(a) đồng biến trên khoảng 1;+∞. Do đó phương trình g(a) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm. Mặt khác g2.g3=ln2−1ln3<0, suy ra ∃a0∈2;3 để ga0=0 Do đó: ga≤0⇔a≤a0⇒a∈0;a0⇒a=1a=2.

Câu hỏi:

23/05/2022 334

Có bao nhiêu số nguyên dương a thỏa mãn $(\sqrt{1 + \ln^{2} a} + \ln a) (\sqrt{1 + {(a - 3)}^{2}} + a - 3) \leq 1 ?$

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D.

Điều kiện: a > 0

Vì $\sqrt{1 + \ln^{2} a} > |\ln a| \geq \ln a \Rightarrow \sqrt{1 + \ln^{2} a} - \ln a > 0.$

Do đó $(\sqrt{1 + \ln^{2} a} + \ln a) (\sqrt{1 + {(a - 3)}^{2}} + a - 3) \leq 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{1 + {(a - 3)}^{2}} + a - 3}{\sqrt{1 + \ln^{2} a} - \ln a} \leq 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{1 + {(a - 3)}^{2}} + a - 3 \leq \sqrt{1 + {(- \ln a)}^{2}} + (- \ln a) . (1)$

Xét hàm số $f (t) = t + \sqrt{1 + t^{2}}, t \in ℝ; f' (t) = 1 + \frac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}} = \frac{t + \sqrt{1 + t^{2}}}{\sqrt{1 + t^{2}}} > 0, \forall t \in ℝ .$ Suy ra hàm số f'(t) đồng biến trên $ℝ$

Bất phương trình $(1) \Leftrightarrow f (a - 3) \leq f (- \ln a) \Leftrightarrow a - 3 \leq - \ln a \Leftrightarrow a - 3 + \ln a \leq 0.$

Xét hàm số $g (a) = a - 3 + \ln a, a \in (0; + \infty); g' (a) = 1 + \frac{1}{a} > 0, \forall a > 1.$

Hàm số g(a) đồng biến trên khoảng $(1; + \infty) .$ Do đó phương trình g(a) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm.

Mặt khác $g (2) . g (3) = (\ln 2 - 1) \ln 3 < 0,$ suy ra $\exists a_{0} \in (2; 3)$ để $g (a_{0}) = 0$

Do đó: $g (a) \leq 0 \Leftrightarrow a \leq a_{0} \Rightarrow a \in (0; a_{0}] \Rightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ a = 2 \end{array} .$

Bình luận

Câu 1:

Chọn ngẫu nhiên một số trong 20 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số chia hết cho 3 bằng

A. $\frac{3}{20}$

B. $\frac{1}{20}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{3}{10}$

Xem đáp án » 19/05/2022 20,154

Câu 2:

Với x là số thực dương, đạo hàm của hàm số $y = \log_{2} x$ là

A. $y^{'} = \frac{x}{\ln 2}$

B. $y^{'} = \frac{1}{x}$

C. $y^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$

D. $y^{'} = x \ln 2$

Xem đáp án » 21/05/2022 6,210

Câu 3:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{3 a}{4}$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt phẳng đáy (ABC) bằng

A. $30^{0}$

B. $45^{0}$

C. $60^{0}$

D. $90^{0}$

Xem đáp án » 23/05/2022 6,116

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa và mặt phẳng (SBC) bằng $60^{0}$ (tham khảo hình bên dưới). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{3 a^{3}}{8}$

B. $\frac{a^{3}}{8}$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{24} .$

D. $\frac{a^{3}}{4} .$

Xem đáp án » 23/05/2022 5,356

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 3 z - 4 = 0$ và $(Q) : 3 x + 2 y - 5 z - 4 = 0.$ Giao tuyến của (P) và (Q) có phương trình tham số là

A. $\{\begin{cases} x = 2 - 2 t \\ y = - 1 + 7 t \\ z = - 4 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 1 + 7 t \\ z = 4 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = - 1 + 7 t \\ z = 4 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 1 - 7 t \\ z = 4 t \end{cases}$

Xem đáp án » 23/05/2022 4,645

Câu 6:

Một khối nón có chiều cao bằng 12 , đặt trên đáy một hình trụ (các đáy của chúng nằm trên cùng một mặt phẳng, như hình vẽ bên dưới), biết đường kính đáy khối nón bằng bán kính đáy hình trụ. Hình trụ được đổ nước vào cho đến độ cao bằng 12. Độ cao của nước khi đã lấy khối nón ra ngoài hình trụ bằng

A. 11

B. 10

C. 8

D. 6

Xem đáp án » 23/05/2022 3,762

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau $d : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 \end{cases}$ và $d' : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{1}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' là

A. $\sqrt{6} .$

B. $\frac{\sqrt{6}}{2} .$

C. $\frac{1}{\sqrt{6}} .$

D. $\sqrt{2} .$

Xem đáp án » 23/05/2022 3,663

Có bao nhiêu số nguyên dương a thỏa mãn $(\sqrt{1 + \ln^{2} a} + \ln a) (\sqrt{1 + {(a - 3)}^{2}} + a - 3) \leq 1 ?$

Bình luận

Chọn ngẫu nhiên một số trong 20 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số chia hết cho 3 bằng

Với x là số thực dương, đạo hàm của hàm số $y = \log_{2} x$ là

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{3 a}{4}$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt phẳng đáy (ABC) bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa và mặt phẳng (SBC) bằng $60^{0}$ (tham khảo hình bên dưới). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 3 z - 4 = 0$ và $(Q) : 3 x + 2 y - 5 z - 4 = 0.$ Giao tuyến của (P) và (Q) có phương trình tham số là

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau $d : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 \end{cases}$ và $d' : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{1}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' là

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Có bao nhiêu số nguyên dương a thỏa mãn 1+ln2a +lna 1+(a−3)2 +a−3≤1 ?

Bình luận

Chọn ngẫu nhiên một số trong 20 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số chia hết cho 3 bằng

Với x là số thực dương, đạo hàm của hàm số y=log2x là

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3a4 (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt phẳng đáy (ABC) bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa và mặt phẳng (SBC) bằng 600 (tham khảo hình bên dưới). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng P:x−2y+3z−4=0 và Q:3x+2y−5z−4=0. Giao tuyến của (P) và (Q) có phương trình tham số là

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d:x=1+2ty=−1−tz=1 và d':x−2−1=y+21=z−31. Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' là

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Có bao nhiêu số nguyên dương a thỏa mãn $(\sqrt{1 + \ln^{2} a} + \ln a) (\sqrt{1 + {(a - 3)}^{2}} + a - 3) \leq 1 ?$

Với x là số thực dương, đạo hàm của hàm số $y = \log_{2} x$ là

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{3 a}{4}$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt phẳng đáy (ABC) bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa và mặt phẳng (SBC) bằng $60^{0}$ (tham khảo hình bên dưới). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 3 z - 4 = 0$ và $(Q) : 3 x + 2 y - 5 z - 4 = 0.$ Giao tuyến của (P) và (Q) có phương trình tham số là

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau $d : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 \end{cases}$ và $d' : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{1}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' là