Cho khối chóp tam giác S.ABC có đỉnh S và đáy là tam giác ABC. Gọi V là thể tích của khối chóp. Mặt phẳng đi qua trọng tâm của ba mặt bên của khối chóp chia khối chóp thành hai phần. Tính theo V thể tích của phần chứa đáy của khối chóp.

Phương pháp giải: Sử dụng định lý Ta-lét tính các tỉ lệ cạnh

Sử dụng tỉ số thể tích: Cho chóp S.ABC và các điểm D; E; F lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Khi đó ta có $\frac{V_{S.DEF}}{V_{S.ABC}}=\frac{SD}{SA}.\frac{SE}{SB}.\frac{SF}{SC}$

Giải chi tiết:

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, AC và G₁; G₂; G₃ lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB; SBC; SAC.

Theo tính chất trọng tâm ta có $\frac{S{G}_1}{SM}=\frac{S{G}_2}{SN}=\frac{S{G}_3}{SP}=\frac{2}{3}$

Trong (SBC), qua G₂ kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại E và F.

Trong (SAC), đường thẳng FG₃ cắt SA tại D.

Lúc này (G1G2G3)≡(DEF)

Vì EF // BC $\Rightarrow \frac{SE}{SB}=\frac{SF}{SC}=\frac{S{G}_2}{SN}=\frac{2}{3}$(theo định lý Ta-lét)

Lại có trong ΔSPC có

$\frac{S{G}_3}{SP}=\frac{SF}{SC}=\frac{2}{3}\Rightarrow$FG₃ // PC$\Rightarrow$DF // BC $\Rightarrow \frac{SD}{SA}=\frac{SF}{SC}=\frac{2}{3}$

Từ đó ta có $\frac{V_{S.DEF}}{V_{S.ABC}}=\frac{SD}{SA}.\frac{SE}{SB}.\frac{SF}{SC}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{8}{27}V$

Nên phần chứa đáy của hình chóp là $V-\frac{8}{27}V=\frac{19}{27}V$