Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ${\log }^2\left|\cos x\right|-m{\mathrm{logcos}}^{2}x-m^2+4=0$ vô nghiệm

Phương pháp giải:

- Đặt $t=\log \left|\cos x\right|$ và tìm điều kiện của t.

- Thay vào phương trình đã cho đưa về phương trình ẩn .

- Biến đổi điều kiện bài toán về điều kiện của phương trình vừa có được và tìm m.

Giải chi tiết:

Điều kiện: $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Ta có: 

$\begin{array}{l}{\log }^2\left|\cos x\right|-m{\mathrm{logcos}}^{2}x-m^2+4=0\\ \iff {\log }^2\left|\cos x\right|-2m\mathrm{logcos}x-m^2+4=0\end{array}$

Đặt $t=\log \left|\cos x\right|$ Do $0<\left|\cos x\right|\le 1$nên $\log \left|\cos x\right|\le 0$ hay $t\in \left(-\infty ;0\right)$

Phương trình trở thành $t^2-2mt-m^2+4=0(*)$ có $\Delta \text{'}=m^2+m^2-4=2m^2-4$

Phương trình đã cho vô nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (*) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm (không nhất thiết phân biệt) $t_1,t_2$ thỏa mãn $0<t_1\le t_2$

TH1 : (*) vô nghiệm $\iff \Delta \text{'}=2m^2-4<0\iff -\sqrt{2}<m<\sqrt{2}$

TH2 : (∗) có hai nghiệm thỏa mãn  

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}\ge 0\\ t_1+t_2>0\\ t_1{t}_2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2m^2-4\ge 0\\ 2m>0\\ -m^2+4>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m\ge \sqrt{2}\\ m\le -\sqrt{2}\end{array}\right.\\ m>0\\ -2<m<2\end{array}\right.\iff \sqrt{2}\le m<2$  

Kết hợp hai trường hợp ta được $m\in \left(-\sqrt{2};2\right)$

Chọn C