Câu hỏi:

28/05/2022 164

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn ${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)]$ với mọi x thuộc đoạn [0; 1] và f(1) = 2. Giá trị $I = \int_{0}^{1} x f (x) d x$ bằng

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{11}{4}$

C. $\frac{3}{4}$

Đáp án chính xác

D. $\frac{5}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C.

Cách 1:

Ta có

${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)] \Leftrightarrow {[f' (x)]}^{2} + 4 f (x) = 4 (2 x^{2} + 1)$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x + \int_{0}^{1} 4 f (x) d x = \int_{0}^{1} 4 (2 x^{2} + 1) d x \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x + 4 x f (x) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} - 4 \int_{0}^{1} x f' (x) d x = \frac{20}{3}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x - 4 \int_{0}^{1} x f' (x) d x + 4 f (1) = \frac{20}{3}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x - 4 \int_{0}^{1} x f' (x) d x + 4 \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{20}{3} - 8 + 4 \int_{0}^{1} x^{2} d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x) - 2 x]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow f' (x) - 2 x = 0 \Rightarrow f (x) = x^{2} + C .$

$f (1) = 2 \Leftrightarrow C = 1 \Leftrightarrow f (x) = x^{2} + 1.$

Vậy $I = \int_{0}^{1} x f (x) d x = \frac{3}{4} .$

Cách 2:

Đặt $f (x) = a x^{2} + b x + c,$ ta có:

${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)] \Leftrightarrow {(2 a x + b)}^{2} = 4 (2 x^{2} + 1 - a x^{2} - b x - c) \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 a^{2} = 4 (2 - a) \\ 4 a b = - 4 b \\ b^{2} = 4 (1 - c) \end{cases} .$

Kết hợp với điều kiện $f (1) = 2 \Leftrightarrow a + b + c = 2$ ta có nghiệm $\{\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \end{cases} .$ Vậy $f (x) = x^{2} + 1.$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ và đường thẳng y = 3x + 11 có tung độ bằng:

A. 5

B. -2

C. 3

D. -6

Xem đáp án » 28/05/2022 24,946

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $M (1, 0, 0), N (0, - 2, 0), P (0, 0, 3) .$ Mặt phẳng (MNP) có phương trình là

A. $6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0.$

B. $6 x + 3 y + 2 z + 6 = 0.$

C. $6 x - 3 y + 2 z - 6 = 0.$

D. $- 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0.$

Xem đáp án » 26/05/2022 5,630

Câu 3:

Cho khối chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và SA = 2, tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 1. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. 1

Xem đáp án » 26/05/2022 5,280

Câu 4:

Tập nghiệm của bất phương trình log x < -2 là

A. $(\frac{1}{100}; + \infty)$

B. $(- \infty; \frac{1}{100})$

C. $(0; \frac{1}{100})$

D. [0; 100]

Xem đáp án » 28/05/2022 3,984

Câu 5:

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = - 1; \int_{0}^{3} f (x) d x = 5.$ Tính $\int_{1}^{3} f (x) d x .$

A. 4

B. 5

C. 6

D. 1

Xem đáp án » 26/05/2022 3,622

Câu 6:

Cho khối lập phương có thể tích bằng 125. Độ dài cạnh của khối lập phương đã cho bằng

A. 4

B. 10

C. 15

D. 5

Xem đáp án » 26/05/2022 2,472

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P) : 2 x + 3 y + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\vec{n_{4}} = (2; 3; 1) .$

B. $\vec{n_{2}} = (- 1; 3; 2)$

C. $\vec{n_{1}} = (2; 3; - 1)$

D. $\vec{n_{3}} = (1; 3; 2) .$

Xem đáp án » 28/05/2022 2,456

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn ${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)]$ với mọi x thuộc đoạn [0; 1] và f(1) = 2. Giá trị $I = \int_{0}^{1} x f (x) d x$ bằng

Nhà sách VIETJACK:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ và đường thẳng y = 3x + 11 có tung độ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $M (1, 0, 0), N (0, - 2, 0), P (0, 0, 3) .$ Mặt phẳng (MNP) có phương trình là

Cho khối chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và SA = 2, tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 1. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

Tập nghiệm của bất phương trình log x < -2 là

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = - 1; \int_{0}^{3} f (x) d x = 5.$ Tính $\int_{1}^{3} f (x) d x .$

Cho khối lập phương có thể tích bằng 125. Độ dài cạnh của khối lập phương đã cho bằng

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P) : 2 x + 3 y + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn f'x2=42x2+1−fx với mọi x thuộc đoạn [0; 1] và f(1) = 2. Giá trị I=∫01xfxdx bằng

Nhà sách VIETJACK:

Giao điểm của đồ thị hàm số y=2x−1x+1 và đường thẳng y = 3x + 11 có tung độ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm M1,0,0,N0,−2,0,P0,0,3. Mặt phẳng (MNP) có phương trình là

Cho khối chóp S.ABC có SA⊥ABC và SA = 2, tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 1. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

Tập nghiệm của bất phương trình log x < -2 là

Cho ∫01fxdx=−1;∫03fxdx=5. Tính ∫13fxdx.

Cho khối lập phương có thể tích bằng 125. Độ dài cạnh của khối lập phương đã cho bằng

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng P:2x+3y+z−1=0 có một vectơ pháp tuyến là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn ${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)]$ với mọi x thuộc đoạn [0; 1] và f(1) = 2. Giá trị $I = \int_{0}^{1} x f (x) d x$ bằng

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ và đường thẳng y = 3x + 11 có tung độ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $M (1, 0, 0), N (0, - 2, 0), P (0, 0, 3) .$ Mặt phẳng (MNP) có phương trình là

Cho khối chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và SA = 2, tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 1. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = - 1; \int_{0}^{3} f (x) d x = 5.$ Tính $\int_{1}^{3} f (x) d x .$

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P) : 2 x + 3 y + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là