Câu hỏi:

28/05/2022 186

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn ${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)]$ với mọi x thuộc đoạn [0; 1] và f(1) = 2. Giá trị $I = \int_{0}^{1} x f (x) d x$ bằng

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{11}{4}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{5}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C.

Cách 1:

Ta có

${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)] \Leftrightarrow {[f' (x)]}^{2} + 4 f (x) = 4 (2 x^{2} + 1)$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x + \int_{0}^{1} 4 f (x) d x = \int_{0}^{1} 4 (2 x^{2} + 1) d x \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x + 4 x f (x) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} - 4 \int_{0}^{1} x f' (x) d x = \frac{20}{3}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x - 4 \int_{0}^{1} x f' (x) d x + 4 f (1) = \frac{20}{3}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x - 4 \int_{0}^{1} x f' (x) d x + 4 \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{20}{3} - 8 + 4 \int_{0}^{1} x^{2} d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x) - 2 x]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow f' (x) - 2 x = 0 \Rightarrow f (x) = x^{2} + C .$

$f (1) = 2 \Leftrightarrow C = 1 \Leftrightarrow f (x) = x^{2} + 1.$

Vậy $I = \int_{0}^{1} x f (x) d x = \frac{3}{4} .$

Cách 2:

Đặt $f (x) = a x^{2} + b x + c,$ ta có:

${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)] \Leftrightarrow {(2 a x + b)}^{2} = 4 (2 x^{2} + 1 - a x^{2} - b x - c) \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 a^{2} = 4 (2 - a) \\ 4 a b = - 4 b \\ b^{2} = 4 (1 - c) \end{cases} .$

Kết hợp với điều kiện $f (1) = 2 \Leftrightarrow a + b + c = 2$ ta có nghiệm $\{\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \end{cases} .$ Vậy $f (x) = x^{2} + 1.$

Bình luận

Câu 1:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ và đường thẳng y = 3x + 11 có tung độ bằng:

A. 5

B. -2

C. 3

D. -6

Xem đáp án » 28/05/2022 25,270

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $M (1, 0, 0), N (0, - 2, 0), P (0, 0, 3) .$ Mặt phẳng (MNP) có phương trình là

A. $6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0.$

B. $6 x + 3 y + 2 z + 6 = 0.$

C. $6 x - 3 y + 2 z - 6 = 0.$

D. $- 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0.$

Xem đáp án » 26/05/2022 6,751

Câu 3:

Tập nghiệm của bất phương trình log x < -2 là

A. $(\frac{1}{100}; + \infty)$

B. $(- \infty; \frac{1}{100})$

C. $(0; \frac{1}{100})$

D. [0; 100]

Xem đáp án » 28/05/2022 6,709

Câu 4:

Cho khối chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và SA = 2, tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 1. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. 1

Xem đáp án » 26/05/2022 5,702

Câu 5:

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = - 1; \int_{0}^{3} f (x) d x = 5.$ Tính $\int_{1}^{3} f (x) d x .$

A. 4

B. 5

C. 6

D. 1

Xem đáp án » 26/05/2022 4,174

Câu 6:

Cho đồ thị biểu thị vận tốc của hai chất điểm A và B xuất phát cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của chất điểm A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của chất điểm B là một đường thẳng như hình vẽ sau.

Hỏi sau khi đi được 3 giây, khoảng cách giữa hai chất điểm là bao nhiêu mét?

A. 120m

B. 60m

C. 90m

D. 270m

Xem đáp án » 28/05/2022 4,072

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P) : 2 x + 3 y + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\vec{n_{4}} = (2; 3; 1) .$

B. $\vec{n_{2}} = (- 1; 3; 2)$

C. $\vec{n_{1}} = (2; 3; - 1)$

D. $\vec{n_{3}} = (1; 3; 2) .$

Xem đáp án » 28/05/2022 3,181

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn ${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)]$ với mọi x thuộc đoạn [0; 1] và f(1) = 2. Giá trị $I = \int_{0}^{1} x f (x) d x$ bằng

250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới)

20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)

Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)

Bình luận

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ và đường thẳng y = 3x + 11 có tung độ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $M (1, 0, 0), N (0, - 2, 0), P (0, 0, 3) .$ Mặt phẳng (MNP) có phương trình là

Tập nghiệm của bất phương trình log x < -2 là

Cho khối chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và SA = 2, tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 1. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = - 1; \int_{0}^{3} f (x) d x = 5.$ Tính $\int_{1}^{3} f (x) d x .$

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P) : 2 x + 3 y + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn f'x2=42x2+1−fx với mọi x thuộc đoạn [0; 1] và f(1) = 2. Giá trị I=∫01xfxdx bằng

Bình luận

Giao điểm của đồ thị hàm số y=2x−1x+1 và đường thẳng y = 3x + 11 có tung độ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm M1,0,0,N0,−2,0,P0,0,3. Mặt phẳng (MNP) có phương trình là

Tập nghiệm của bất phương trình log x < -2 là

Cho khối chóp S.ABC có SA⊥ABC và SA = 2, tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 1. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

Cho ∫01fxdx=−1;∫03fxdx=5. Tính ∫13fxdx.

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng P:2x+3y+z−1=0 có một vectơ pháp tuyến là

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn ${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)]$ với mọi x thuộc đoạn [0; 1] và f(1) = 2. Giá trị $I = \int_{0}^{1} x f (x) d x$ bằng

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ và đường thẳng y = 3x + 11 có tung độ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $M (1, 0, 0), N (0, - 2, 0), P (0, 0, 3) .$ Mặt phẳng (MNP) có phương trình là

Cho khối chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và SA = 2, tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 1. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = - 1; \int_{0}^{3} f (x) d x = 5.$ Tính $\int_{1}^{3} f (x) d x .$

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P) : 2 x + 3 y + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là