Câu hỏi:

28/05/2022 203

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn ${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)]$ với mọi x thuộc đoạn [0; 1] và f(1) = 2. Giá trị $I = \int_{0}^{1} x f (x) d x$ bằng

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{11}{4}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{5}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C.

Cách 1:

Ta có

${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)] \Leftrightarrow {[f' (x)]}^{2} + 4 f (x) = 4 (2 x^{2} + 1)$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x + \int_{0}^{1} 4 f (x) d x = \int_{0}^{1} 4 (2 x^{2} + 1) d x \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x + 4 x f (x) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} - 4 \int_{0}^{1} x f' (x) d x = \frac{20}{3}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x - 4 \int_{0}^{1} x f' (x) d x + 4 f (1) = \frac{20}{3}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x - 4 \int_{0}^{1} x f' (x) d x + 4 \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{20}{3} - 8 + 4 \int_{0}^{1} x^{2} d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x) - 2 x]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow f' (x) - 2 x = 0 \Rightarrow f (x) = x^{2} + C .$

$f (1) = 2 \Leftrightarrow C = 1 \Leftrightarrow f (x) = x^{2} + 1.$

Vậy $I = \int_{0}^{1} x f (x) d x = \frac{3}{4} .$

Cách 2:

Đặt $f (x) = a x^{2} + b x + c,$ ta có:

${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)] \Leftrightarrow {(2 a x + b)}^{2} = 4 (2 x^{2} + 1 - a x^{2} - b x - c) \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 a^{2} = 4 (2 - a) \\ 4 a b = - 4 b \\ b^{2} = 4 (1 - c) \end{cases} .$

Kết hợp với điều kiện $f (1) = 2 \Leftrightarrow a + b + c = 2$ ta có nghiệm $\{\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \end{cases} .$ Vậy $f (x) = x^{2} + 1.$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ và đường thẳng y = 3x + 11 có tung độ bằng:

A. 5

B. -2

C. 3

D. -6

Lời giải

Chọn A.

Xét phương trình hoành độ của hai đồ thị $\frac{2 x - 1}{x + 1} = 3 x + 11 (x \neq - 1)$

$\Leftrightarrow 2 x - 1 = (3 x + 11) (x + 1)$

$\Leftrightarrow x = - 2 \Rightarrow y = 5$

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ và đường thẳng y = 3x + 11 có tung độ bằng 5.

Câu 2

Tập nghiệm của bất phương trình log x < -2 là

A. $(\frac{1}{100}; + \infty)$

B. $(- \infty; \frac{1}{100})$

C. $(0; \frac{1}{100})$

D. [0; 100]

Lời giải

Chọn C.

Ta có $\log x < - 2 \Leftrightarrow 0 < x < 10^{- 2} \Leftrightarrow x \in (0; \frac{1}{100}) .$

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x < - 2$ là $S = (0; \frac{1}{100}) .$

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $M (1, 0, 0), N (0, - 2, 0), P (0, 0, 3) .$ Mặt phẳng (MNP) có phương trình là

A. $6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0.$

B. $6 x + 3 y + 2 z + 6 = 0.$

C. $6 x - 3 y + 2 z - 6 = 0.$

D. $- 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho khối chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và SA = 2, tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 1. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho đồ thị biểu thị vận tốc của hai chất điểm A và B xuất phát cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của chất điểm A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của chất điểm B là một đường thẳng như hình vẽ sau.

Hỏi sau khi đi được 3 giây, khoảng cách giữa hai chất điểm là bao nhiêu mét?

A. 120m

B. 60m

C. 90m

D. 270m

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = - 1; \int_{0}^{3} f (x) d x = 5.$ Tính $\int_{1}^{3} f (x) d x .$

A. 4

B. 5

C. 6

D. 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P) : 2 x + 3 y + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\vec{n_{4}} = (2; 3; 1) .$

B. $\vec{n_{2}} = (- 1; 3; 2)$

C. $\vec{n_{1}} = (2; 3; - 1)$

D. $\vec{n_{3}} = (1; 3; 2) .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học