Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm, liên tục trên R và f(0) = 0 $f\left(x\right) + f(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x) = \sin x. \cos x$, với mọi $x\in R$. Giá trị tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}xf\text{'}\left(x\right)dx$ bằng

Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là

Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y =0; y = \sqrt{x}; y= x-2$

Biết ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{x+x\cos x-{\sin }^{3}x}{1+\cos x}dx = \frac{{\mathrm{\pi }}^2}{3}-\frac{b}{c}$ Trong đó a, b, c là các số nguyên dương, phân số b/c tối giản. Tính $T = a^2+b^2+c^2$

Biết ${\int }_0^{3}x.\ln (x^2+16)dx = a\ln 5 + b\ln 2 + \frac{c}{2}$ trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức T = a+b+c

Cho hàm số $y = \frac{x-m^2}{x+1}$ (với m là tham số khác 0) có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và hai trục tọa độ. Có bao nhiêu giá trị thực của m thỏa mãn S = 1?

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {(x-3)}^2$ , trục tung và trục hoành. Gọi $k_1, k_2 (k_1<k_2)$ là hệ số góc của hai đường thẳng cùng đi qua điểm A(0;9) và chia (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính $k_1-k_2$

Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x=4; x=9 và đường cong có phương trình $y^2 = 8x$