Cho biểu thức: \[P = \frac{{x\sqrt x - 8}}{{x + 2\sqrt x + 4}} + 3\left( {1 - \sqrt x } \right)\].

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P?

2) Tìm giá trị nguyên dương của x để biểu thức \[Q = \frac{{2P}}{{1 - P}}\] có giá trị nguyên?

1) Ta có \[\widehat {PAO} + \widehat {PMO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] suy ra tứ giác APMO là tứ giác nội tiếp.

Nhận xét: Bài toán chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh tứ giác đó có tổng hai góc trong đối diện bằng 180°.

 2) Ta có: \[\widehat {ABM} = \frac{{\widehat {AOM}}}{2}\] (góc nội tiếp và góc ở tâm)         (1)

\[\widehat {AOP} = \frac{{\widehat {AOM}}}{2}\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)                (2)

Suy ra \[\widehat {ABM} = \widehat {AOP}\]. Do đó BM // OP

Nhận xét: Bài toán chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách chứng minh hai góc ở vị trí đồng vị của hai đường thẳng đó bằng nhau.

 3) Ta có ∆AOP = ∆OBN (g-c-g), suy ra \[OP = BN\].

Mà: BN // OP (do BM // OP)

Suy ra OBNP là hình bình hành.

Nhận xét: Bài toán chứng minh một tứ giác là hình bình hành bằng cách chỉ ra tứ giác đó có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

 4) Ta có: AONP là hình chữ nhật nên AP // NO suy ra \[\widehat {APO} = \widehat {NOP}\] (hai góc so le trong)         (4)

\[\widehat {APO} = \widehat {MPO}\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)           (5)

Từ (4) và (5) suy ra ∆IPO cân tại I suy ra IK là trung tuyến (AONP là hình chữ nhất nên K là trung điểm của PO) nên IK cũng là đường cao hay \[IK \bot PO\]     (*)

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}ON \bot PJ\\PM \bot OJ\\ON \cap PM = \left\{ I \right\}\end{array} \right.\] nên I là trực tâm của tam giác ∆POỊ nên \[IJ \bot OP\]  (**).

Từ (*) và (**), suy ra ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Nhận xét: Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh cho ba điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng đặc biệt.