Câu hỏi:

06/06/2022 2,387

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $2ab + 6bc + 2ca = 7abc$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{{4ab}}{{a + 2b}} + \frac{{9ca}}{{a + 4c}} + \frac{{4bc}}{{b + c}}$ .

Câu hỏi trong đề: Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Định hướng: Với dạng toán này hướng chung cần tìm mối liên hệ giữa các ẩn và đơn giản hóa biểu thức cần tìm GTNN, GTLN. Đối với học sinh cấp THCS, phương pháp giải dạng toán này thường dùng đánh giá theo bất đẳng thức Cô-si, Bu-nhi-a-cốp-xki, bất đẳng thức phụ hoặc viết dưới dạng tổng bình phưong nhờ thêm bớt... Tuy nhiên, áp dụng ngay các phưong pháp này sẽ dẫn tới bài toán phức tạp hơn hoặc không đúng với yêu cầu của đề. Việc dự đoán điểm rơi khá phức tạp cho bài toán này.

Bằng phưong pháp đổi biến đưa bài toán về dạng đơn giản hơn.

Nhận thấy rằng, giả thiết đã cho các ẩn cùng phụ thuộc trong cùng một biếu thức dễ dưa được về dạng các biến độc lập với nhau.

Tử thức các phân thức trong biểu thức P là tích của hai ẩn dưới mẫu đưa về dạng độc lập khá đơn giản.

Từ: $2ab + 6bc + 2ca = 7abc$ và $a,\,\,b,\,\,c > 0$ , ta suy ra $\frac{2}{c} + \frac{6}{a} + \frac{2}{b} = 7$ .

Đặt $x = \frac{1}{a},\,\,y = \frac{1}{b},\,\,z = \frac{1}{c} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x,\,\,y,\,\,z > 0\\2z + 6x + 2y = 7\end{array} \right.$ .

Khi đó: $P = \frac{4}{{2x + y}} + \frac{9}{{4x + z}} + \frac{4}{{y + z}}$

Để tìm GTNN của P thí sinh có thể sử dụng một trong hai cách dưới đây.

Cách 1: Bất đẳng thức Cô-si bằng việc thêm bớt các ẩn.

Phân tích (*) trở thành:

$P = \frac{4}{{2x + y}} + \frac{9}{{4x + z}} + \frac{4}{{y + z}}$

$= \frac{4}{{2x + y}} + m\left( {2x + y} \right) + \frac{9}{{4x + z}} + n\left( {4x + z} \right) + \frac{4}{{y + z}} - m\left( {2x + y} \right) - n\left( {4x + z} \right) - p\left( {y + z} \right)$

$\left( {m,\,\,n,\,\,p > 0} \right)$

Khi đó

$P \ge 2\sqrt {\frac{4}{{2x + y}}.m\left( {2x + y} \right)} + 2\sqrt {\frac{9}{{4x + z}}.n\left( {4x + z} \right)}$

$+ 2\sqrt {\frac{4}{{y + z}}.p\left( {y + z} \right)} - m\left( {2x + y} \right) - n\left( {4x + z} \right) - p\left( {y + z} \right)$

$= 4\sqrt m + 6\sqrt n + 4\sqrt p - \left( {x\left( {2x + 4n} \right) + y\left( {m + p} \right) + z\left( {n + p} \right)} \right)$

Ta chọn bộ số $m,\,\,n,\,\,p > 0$ sao cho $\left\{ \begin{array}{l}2x + 4n = 6\\m + p = 2\\n + p = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = n = p = 1$ .

Suy ra: $P \ge 4 + 6 + 4 - 7 = 7$

Với cơ sở phân tích như trên thí sinh có thể đưa biểu thức P về dạng tổng các bình phương để chỉ ra GTNN.

Cách 2: Áp dụng bổ để bất đẳng thức:

$\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,x,\,\,y > 0} \right)$ (I)

Chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương.

Tổng quát của bất đẳng thức (I) có dạng:

$\frac{{x_1^2}}{{{a_1}}} + \frac{{x_2^2}}{{{a_2}}} + ... + \frac{{x_n^2}}{{{a_n}}} \ge \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right)}^2}}}{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}\,\,\left( {{a_1} > 0,\,\,{x_i} > 0,\,\,i = \overline {1,\,\,n} } \right)$

Áp dụng bất đẳng thức (I) ta suy ra

$P = \frac{4}{{2x + y}} + \frac{9}{{4x + z}} + \frac{4}{{y + z}} \ge \frac{{{{\left( {2 + 3} \right)}^2}}}{{6x + y + z}} + \frac{{{2^2}}}{{y + z}} \ge \frac{{{{\left( {2 + 3 + 2} \right)}^2}}}{{6x + 2y + 2z}} = \frac{{{7^2}}}{7} = 7$

Do đó, GTNN của P là 7 khi $a = 2;\,\,b = 1;\,\,c = 1$ .

Giải:

Từ giả thiết: $2ab + 6bc + 2ca = 7abc$ và $a,\,\,b,\,\,c > 0$

Chia cả hai vế cho $abc > 0 \Rightarrow \frac{2}{c} + \frac{6}{a} + \frac{2}{b} = 7$ .

Đặt: $x = \frac{1}{a},\,\,y = \frac{1}{b},\,\,z = \frac{1}{c} \Rightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x,\,\,y,\,\,z > 0\\2z + 6x + 2y = 7\end{array} \right.$ .

Khi đó: $P = \frac{{4ab}}{{a + 2b}} + \frac{{9ac}}{{a + 4c}} + \frac{{4bc}}{{b + c}} = \frac{4}{{2x + y}} + \frac{9}{{4x + z}} + \frac{4}{{y + z}}$ (*)

$\Rightarrow P = \frac{4}{{2x + y}} + 2x + y + \frac{9}{{4x + z}} + 4x + z + \frac{4}{{y + z}} + y + z - \left( {2x + y + 4x + z + y + z} \right)$

$= {\left( {\frac{2}{{\sqrt {x + 2y} }} - \sqrt {x + 2y} } \right)^2} + {\left( {\frac{3}{{\sqrt {4x + z} }} - \sqrt {4x + 1} } \right)^2} + {\left( {\frac{2}{{\sqrt {y + z} }} - \sqrt {y + z} } \right)^2} + 7 \ge 7$

Khi $x = \frac{1}{2};\,\,y = z = 1$ thì $P = 7$ .

Vậy GTNN của P là 7 khi $a = 2;\,\,b = 1;\,\,c = 1$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Toán VietJack

Đã bán 261

₫ 195.000 ₫ 95.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Ngữ Văn VietJack

Đã bán 111

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh VietJack

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Sách Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh VietJack

Đã bán 411

₫ 180.000 ₫ 970.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.

1) Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.

2) Chứng minh BM // OP.

3) Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.

4) Biết AN cắt OP tại K, PN cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Xem đáp án » 11/07/2024 6,021

Câu 2:

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Tháng giêng hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy; tháng hai do cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy

2) Biết đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{3}a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ đi qua điểm M (3; -6).

Hãy xác định giá trị của a.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,572

Câu 3:

Cho biểu thức: $P = \frac{{x\sqrt x - 8}}{{x + 2\sqrt x + 4}} + 3\left( {1 - \sqrt x } \right)$ .

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P?

2) Tìm giá trị nguyên dương của x để biểu thức $Q = \frac{{2P}}{{1 - P}}$ có giá trị nguyên?

Xem đáp án » 13/07/2024 1,903

Câu 4:

1) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 11\\2x + 3y = 12\end{array} \right.$ .

2) Giải phương trình: ${x^2} - x - 12 = 0$

3) Cho phương trình: $2{x^2} - 4mx + 2{m^2} - 1 = 0$ (1) với m là tham số.

a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn $2x_1^2 + 4m{x_2} + 2{m^2} - 9 < 0$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 1,534

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab+6bc+2ca=7abc2ab + 6bc + 2ca = 7abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4aba+2b+9caa+4c+4bcb+cP = \frac{{4ab}}{{a + 2b}} + \frac{{9ca}}{{a + 4c}} + \frac{{4bc}}{{b + c}}.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $2ab + 6bc + 2ca = 7abc$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{{4ab}}{{a + 2b}} + \frac{{9ca}}{{a + 4c}} + \frac{{4bc}}{{b + c}}$ .