Câu hỏi:

06/06/2022 2,713

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \[2ab + 6bc + 2ca = 7abc\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{4ab}}{{a + 2b}} + \frac{{9ca}}{{a + 4c}} + \frac{{4bc}}{{b + c}}\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Định hướng: Với dạng toán này hướng chung cần tìm mối liên hệ giữa các ẩn và đơn giản hóa biểu thức cần tìm GTNN, GTLN. Đối với học sinh cấp THCS, phương pháp giải dạng toán này thường dùng đánh giá theo bất đẳng thức Cô-si, Bu-nhi-a-cốp-xki, bất đẳng thức phụ hoặc viết dưới dạng tổng bình phưong nhờ thêm bớt... Tuy nhiên, áp dụng ngay các phưong pháp này sẽ dẫn tới bài toán phức tạp hơn hoặc không đúng với yêu cầu của đề. Việc dự đoán điểm rơi khá phức tạp cho bài toán này.

Bằng phưong pháp đổi biến đưa bài toán về dạng đơn giản hơn.

Nhận thấy rằng, giả thiết đã cho các ẩn cùng phụ thuộc trong cùng một biếu thức dễ dưa được về dạng các biến độc lập với nhau.

Tử thức các phân thức trong biểu thức P là tích của hai ẩn dưới mẫu đưa về dạng độc lập khá đơn giản.

Từ: \[2ab + 6bc + 2ca = 7abc\] và \[a,\,\,b,\,\,c > 0\], ta suy ra \[\frac{2}{c} + \frac{6}{a} + \frac{2}{b} = 7\].

Đặt \[x = \frac{1}{a},\,\,y = \frac{1}{b},\,\,z = \frac{1}{c} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x,\,\,y,\,\,z > 0\\2z + 6x + 2y = 7\end{array} \right.\].

Khi đó: \[P = \frac{4}{{2x + y}} + \frac{9}{{4x + z}} + \frac{4}{{y + z}}\]

Để tìm GTNN của P thí sinh có thể sử dụng một trong hai cách dưới đây.

Cách 1: Bất đẳng thức Cô-si bằng việc thêm bớt các ẩn.

Phân tích (*) trở thành:

\[P = \frac{4}{{2x + y}} + \frac{9}{{4x + z}} + \frac{4}{{y + z}}\]

\[ = \frac{4}{{2x + y}} + m\left( {2x + y} \right) + \frac{9}{{4x + z}} + n\left( {4x + z} \right) + \frac{4}{{y + z}} - m\left( {2x + y} \right) - n\left( {4x + z} \right) - p\left( {y + z} \right)\]

\[\left( {m,\,\,n,\,\,p > 0} \right)\]

Khi đó

\[P \ge 2\sqrt {\frac{4}{{2x + y}}.m\left( {2x + y} \right)} + 2\sqrt {\frac{9}{{4x + z}}.n\left( {4x + z} \right)} \]

\[ + 2\sqrt {\frac{4}{{y + z}}.p\left( {y + z} \right)} - m\left( {2x + y} \right) - n\left( {4x + z} \right) - p\left( {y + z} \right)\]

\[ = 4\sqrt m + 6\sqrt n + 4\sqrt p - \left( {x\left( {2x + 4n} \right) + y\left( {m + p} \right) + z\left( {n + p} \right)} \right)\]

Ta chọn bộ số \[m,\,\,n,\,\,p > 0\] sao cho \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 4n = 6\\m + p = 2\\n + p = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = n = p = 1\].

Suy ra: \[P \ge 4 + 6 + 4 - 7 = 7\]

Với cơ sở phân tích như trên thí sinh có thể đưa biểu thức P về dạng tổng các bình phương để chỉ ra GTNN.

Cách 2: Áp dụng bổ để bất đẳng thức:

\[\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,x,\,\,y > 0} \right)\] (I)

Chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương.

Tổng quát của bất đẳng thức (I) có dạng:

\[\frac{{x_1^2}}{{{a_1}}} + \frac{{x_2^2}}{{{a_2}}} + ... + \frac{{x_n^2}}{{{a_n}}} \ge \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right)}^2}}}{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}\,\,\left( {{a_1} > 0,\,\,{x_i} > 0,\,\,i = \overline {1,\,\,n} } \right)\]

Áp dụng bất đẳng thức (I) ta suy ra

\[P = \frac{4}{{2x + y}} + \frac{9}{{4x + z}} + \frac{4}{{y + z}} \ge \frac{{{{\left( {2 + 3} \right)}^2}}}{{6x + y + z}} + \frac{{{2^2}}}{{y + z}} \ge \frac{{{{\left( {2 + 3 + 2} \right)}^2}}}{{6x + 2y + 2z}} = \frac{{{7^2}}}{7} = 7\]

Do đó, GTNN của P là 7 khi \[a = 2;\,\,b = 1;\,\,c = 1\].

Giải:

Từ giả thiết: \[2ab + 6bc + 2ca = 7abc\] và \[a,\,\,b,\,\,c > 0\]

Chia cả hai vế cho \[abc > 0 \Rightarrow \frac{2}{c} + \frac{6}{a} + \frac{2}{b} = 7\].

Đặt: \[x = \frac{1}{a},\,\,y = \frac{1}{b},\,\,z = \frac{1}{c} \Rightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x,\,\,y,\,\,z > 0\\2z + 6x + 2y = 7\end{array} \right.\].

Khi đó: \[P = \frac{{4ab}}{{a + 2b}} + \frac{{9ac}}{{a + 4c}} + \frac{{4bc}}{{b + c}} = \frac{4}{{2x + y}} + \frac{9}{{4x + z}} + \frac{4}{{y + z}}\] (*)

\[ \Rightarrow P = \frac{4}{{2x + y}} + 2x + y + \frac{9}{{4x + z}} + 4x + z + \frac{4}{{y + z}} + y + z - \left( {2x + y + 4x + z + y + z} \right)\]

\[ = {\left( {\frac{2}{{\sqrt {x + 2y} }} - \sqrt {x + 2y} } \right)^2} + {\left( {\frac{3}{{\sqrt {4x + z} }} - \sqrt {4x + 1} } \right)^2} + {\left( {\frac{2}{{\sqrt {y + z} }} - \sqrt {y + z} } \right)^2} + 7 \ge 7\]

Khi \[x = \frac{1}{2};\,\,y = z = 1\] thì \[P = 7\].

Vậy GTNN của P là 7 khi \[a = 2;\,\,b = 1;\,\,c = 1\].

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.

1) Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.

2) Chứng minh BM // OP.

3) Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.

4) Biết AN cắt OP tại K, PN cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

1) Ta có \[\widehat {PAO} + \widehat {PMO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] suy ra tứ giác APMO là tứ giác nội tiếp.

Nhận xét: Bài toán chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh tứ giác đó có tổng hai góc trong đối diện bằng 180°.

2) Ta có: \[\widehat {ABM} = \frac{{\widehat {AOM}}}{2}\] (góc nội tiếp và góc ở tâm) (1)

\[\widehat {AOP} = \frac{{\widehat {AOM}}}{2}\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2)

Suy ra \[\widehat {ABM} = \widehat {AOP}\]. Do đó BM // OP

Nhận xét: Bài toán chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách chứng minh hai góc ở vị trí đồng vị của hai đường thẳng đó bằng nhau.

3) Ta có ∆AOP = ∆OBN (g-c-g), suy ra \[OP = BN\].

Mà: BN // OP (do BM // OP)

Suy ra OBNP là hình bình hành.

Nhận xét: Bài toán chứng minh một tứ giác là hình bình hành bằng cách chỉ ra tứ giác đó có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

4) Ta có: AONP là hình chữ nhật nên AP // NO suy ra \[\widehat {APO} = \widehat {NOP}\] (hai góc so le trong) (4)

\[\widehat {APO} = \widehat {MPO}\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (5)

Từ (4) và (5) suy ra ∆IPO cân tại I suy ra IK là trung tuyến (AONP là hình chữ nhất nên K là trung điểm của PO) nên IK cũng là đường cao hay \[IK \bot PO\] (*)

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}ON \bot PJ\\PM \bot OJ\\ON \cap PM = \left\{ I \right\}\end{array} \right.\] nên I là trực tâm của tam giác ∆POỊ nên \[IJ \bot OP\] (**).

Từ (*) và (**), suy ra ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Nhận xét: Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh cho ba điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng đặc biệt.

Câu 2

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Tháng giêng hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy; tháng hai do cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy

2) Biết đồ thị của hàm số \[y = \frac{1}{3}a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm M (3; -6).

Hãy xác định giá trị của a.

Xem đáp án

Lời giải

1) Gọi x là số chi tiết máy của tổ 1 và y là số chi tiết máy của tổ 2 sản xuất được trong tháng giêng.

Điều kiện: \[x,\,\,y \in \mathbb{N}*\]

Ta có: \[x + y = 900\] (1) (vì tháng giêng 2 tổ sản xuất được 900 chi tiết).

Do cải tiến kỹ thuật nên tháng hai tổ 1 sản xuất đuợc: \[x + 15\% x\] và và tổ 2 sản xuất đuợc: \[y + 10\% y\].

Cả hai tổ sản xuất được: \[1,15x + 1,10y = 1010\] (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 900\\1,15x + 1,1y = 1010\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,1y = 900\\1,15x + 1,1y = 1010\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,05x = 20\\x + y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400\\y = 500\end{array} \right.\] (thỏa mãn)

Vậy trong tháng giêng tổ 1 sản xuất được 400 chi tiết máy và tổ 2 sản xuất được 500 chi tiết máy.

Nhận xét: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình từ kiến thức về bài toán "phần trăm". Cách tính số lượng tăng/giảm theo phần trăm, công thức từ bài toán năng suất, ...:

“ a% của một số X được tính bằng \[\frac{{a.X}}{{100}}\] (đơn vị theo X)”

Câu 3