Câu hỏi:

12/07/2024 1,264

Cho biểu thức: \[P = \frac{{x\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}} - \sqrt x \]

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P?

2) Tính giá trị của P tại x thỏa mãn \[{x^2} - \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 2}}x - \left( {6 + 2\sqrt 5 } \right) = 0?\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

1) Điều kiện xác định: \[x \ge 0\].

Ta có: \[P = \frac{{x\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}} - \sqrt x = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} + {1^3}}}{{\sqrt x + 1}} - \sqrt x \]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} - \sqrt x \]

\[ = x - \sqrt x + 1 - \sqrt x = x - 2\sqrt x + 1.\]

Vậy \[P = x - 2\sqrt x + 1.\]

Cách 2: Đặt \[a = \sqrt x \left( {a \ge 0} \right).\]

Ta có: \[P = \frac{{{a^3} + 1}}{{a + 1}} - a = \frac{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}{{a + 1}} - a = {a^2} - 2a + 1 = x - 2\sqrt x + 1.\]

Nhận xét: Bài toán rút gọn biểu thức áp dụng quy tắc tìm điều kiện và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

2) Ta có: \[{x^2} - \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 2}}x - \left( {6 + 2\sqrt 5 } \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)x - \left( {6 + 2\sqrt 5 } \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {x - \left( {6 + 2\sqrt 5 } \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 6 + 2\sqrt 5 \end{array} \right. \Rightarrow x = 6 + 2\sqrt 5 \] (vì \[x \ge 0\])

Nên ta có \[P = \left( {6 + 2\sqrt 5 } \right) - 2\sqrt {6 + 2\sqrt 5 } + 1 = 7 + 2\sqrt 5 - 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} \]

\[ = 7 + 2\sqrt 5 - 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} = 7 + 2\sqrt 5 - 2\sqrt 5 - 2 = 5.\]

Vậy \[P = 5\].

Nhận xét: Bài toán tìm giá trị của biểu thức khi biết biến thỏa mãn một điều kiện nào đó. Ta tìm biến rồi thay vào biểu thức để tìm giá trị.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

1) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x} + \frac{5}{y} = 3\\\frac{9}{x} - \frac{{10}}{y} = 1\end{array} \right..\]

2) Giải phương trình: \[\left| {1 - 2x} \right| + \left| {x + 1} \right| = x + 2\].

3) Cho phương trình \[{x^2} - mx + 1 = 0\]. Không giải phương trình, tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn hệ thức:\[{\left( {{x_1} + 1} \right)^2} + {\left( {{x_2} + 1} \right)^2} = 2.\]

Xem đáp án

Lời giải

1) Điều kiện: \[xy \ne 0\]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = a\\\frac{1}{y} = b\end{array} \right.\]. Hệ phương trình trở thành: \[\left\{ \begin{array}{l}6a + 5b = 1\\9a - 10b = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{3 - 5b}}{6}\\9\left( {\frac{{3 - 5b}}{6}} \right) - 10b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( \begin{array}{l}a = \frac{{3 - 5b}}{6}\\\frac{7}{2} = \frac{{35}}{2}b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{1}{5}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{3}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \[\left( {x;y} \right) = \left( {3;5} \right)\].

2) Ta có bảng xét dấu các biểu thức

+ Xét: \[x \le - 1\left( * \right)\].

Phương trình tương đương với: \[\left( {1 - 2x} \right) - \left( {x + 1} \right) = x + 2\]

\[ \Leftrightarrow - 3x = x + 2 \Leftrightarrow 4x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\] (không thỏa mãn điều kiện (*)).

+ Xét: \[ - 1 < x \le \frac{1}{2}\left( {**} \right)\]

Phương trình tương đương với: \[\left( {1 - 2x} \right) + \left( {x + 1} \right) = x + 2\]

\[ \Leftrightarrow 2 - x = x + 2 \Leftrightarrow 0 = 2x \Leftrightarrow x = 0\] (thỏa mãn điều kiện (**)).

+ Xét: \[x > \frac{1}{2}\left( {***} \right)\].

Phương trình tương đương với: \[ - \left( {1 - 2x} \right) + \left( {x + 1} \right) = x + 2\]

\[ \Leftrightarrow 3x = x + 2 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\] (thỏa mãn điều kiện (***)).

Vậy phương trình có nghiệm: \[x = 0;x = 1\].

3) Ta có: \[\Delta = {\left( { - m} \right)^2} - 4.1.1 = {m^2} - 4.\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: \[{m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le - 2\end{array} \right.\].

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} = 1\end{array} \right..\]

Ta có \[{\left( {{x_1} + 1} \right)^2} + {\left( {{x_2} + 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow x_1^2 + 2{x_1} + 1 + x_2^2 + 2{x_2} + 1 = 2\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{x_1}.{x_2} = 0.\]

\[ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \sqrt 3 - 1\left( l \right)\\m = - \sqrt 3 - 1\end{array} \right.\]. Vậy \[m = - \sqrt 3 - 1\].

Câu 2

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Một xe mô-tô đi từ A đến B (cách nhau 60km) theo thời gian đã định. Nửa quãng đường đầu xe đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định 10km/h và nửa quãng đường sau xe đi với vận tốc chậm hơn vận tốc dự định 6km/h. Biết rằng xe về đến B đúng thời gian quy định, hỏi vận tốc dự định là bao nhiêu?

2) Tìm các giá trị m để hàm số \[y = \left( {\sqrt m - 2} \right)x + 3\] đồng biến.

Xem đáp án

Lời giải

1) Gọi x (km/h) là vận tốc dự định.

Thời gian dự định để đến B với vận tốc trên là \[\frac{{60}}{x}\] (giờ).

Nửa quãng đường đầu xe đi nhanh hơn với vận tốc dự định 10(km/h) nên tốn \[\frac{{30}}{{x + 10}}\](giờ).

Nửa quãng đường sau xe đi chậm hơn với vận tốc dự định 6(km/h) nên tốn \[\frac{{30}}{{x - 6}}\] (giờ).

Do đến B đúng thời gian quy định nên ta có phương trình

\[\frac{{60}}{x} = \frac{{30}}{{x + 10}} + \frac{{30}}{{x - 6}} \Leftrightarrow 60\left( {x + 10} \right)\left( {x - 6} \right) = x\left[ {30\left( {x - 6} \right) + 30\left( {x + 10} \right)} \right]\]

\[ \Leftrightarrow 60 + 240x - 3600 = 60{x^2} + 120x \Leftrightarrow 120x = 3600 \Leftrightarrow x = 30\](km/h).

Nhận xét: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình từ kiến thức về chuyển động cơ bản và chuyển động trên dòng nước:

“Quãng đường = Vận tốc x Thời gian”

2) Hàm số \[y = \left( {\sqrt m - 2} \right)x + 3\]đồng biến khi \[\left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\\sqrt m - 2 > 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\\sqrt m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\m > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 4\]

Vậy \[m > 4\].

Câu 3