Câu hỏi:
12/07/2024 1,705
Đường tròn (O), đường kính. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB.
1) Chứng minh MN khi di động, trung điểm I của luôn nằm trên một đường tròn cố định.
2) Từ A kẻ \[Ax \bot MN\], tia BI cắt Ax tại C. Chứng minh tứ giác CMBN là hình bình hành.
3) Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN.
4) Khi MN quay quanh H thì C di động trên đường nào?
5) Cho \[AM.AN = 3{R^2},AN = R\sqrt 3 \]. Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác AMN?
Đường tròn (O), đường kính. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB.
1) Chứng minh MN khi di động, trung điểm I của luôn nằm trên một đường tròn cố định.
2) Từ A kẻ \[Ax \bot MN\], tia BI cắt Ax tại C. Chứng minh tứ giác CMBN là hình bình hành.
3) Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN.
4) Khi MN quay quanh H thì C di động trên đường nào?
5) Cho \[AM.AN = 3{R^2},AN = R\sqrt 3 \]. Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác AMN?
Câu hỏi trong đề: Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất) !!
Bắt đầu thiQuảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) I là trung điểm của MN nên \[OI \bot MN\] (quan hệ đường kính – dây cung) \[ \Rightarrow \widehat {OIH} = 90^\circ \]
Do OH cố định nên khi MN di động thì I chạy trên đường tròn đường kính OH.
Nhận xét: Bài toán chứng minh một điểm luôn nằm trên đường cố định.
2) Ta có \[AC//OI\] vì cùng vuông góc với MN.
Mà O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của BC
Lại có I là trung điểm của nên CMBN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) (điều cần chứng minh).
Nhận xét: Bài toán chứng minh tứ giác là hình bình hành bằng cách chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
3) CMBN là hình bình hành nên \[MC//BN\]
Mà \[BN \bot NA\] (\[\widehat {BNA} = 90^\circ \]do tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Lại có \[AC \bot MN\]
Suy ra C là trực tâm tam giác AMN (điều cần chứng minh).
Nhận xét: Bài toán chứng minh một điểm là trực tâm của tam giác bằng cách chứng minh nó là giao điểm của hai đường cao.
4) Ta có H là trung điểm của OB, I là trung điểm của BC nên IH là đường trung bình của \[\Delta OBC\]
\[ \Rightarrow IH//OC\]
Mà \[OC \bot Ax \Rightarrow \widehat {OCA} = 90^\circ \], nên C thuộc đường tròn đường kính OA cố định.
Vậy khi MN quay quanh H thì C di chuyển trên đường tròn đường kính OA cố định.
Nhận xét: Bài toán tìm quỹ tích của một điểm.
5) \[AM.AN = 3{R^2},AN = R\sqrt 3 \Rightarrow AM = \frac{{3{R^2}}}{{AN}} = \frac{{3{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = R\sqrt 3 \Rightarrow AM = AN = R\sqrt 3 \]
\[ \Rightarrow \Delta AMN\] cân tại A.
Xét \[\Delta ABN\] vuông tại N có \[AB = 2R;AN = R\sqrt 3 \Rightarrow BN = R \Rightarrow \widehat {ABN} = 60^\circ .\]
Có \[\widehat {ABN} = \widehat {AMN}\] (góc nội tiếp) nên \[\widehat {AMN} = 60^\circ \]
Suy ra \[\Delta AMN\] đều
\[ \Rightarrow {S_{\Delta AMN}} = \frac{{{{\left( {R\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}\]
\[ \Rightarrow S = {S_{\left\{ O \right\}}} - {S_{\Delta AMN}} = \pi {R^2} - \frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{R^2}\left( {4\pi - 3\sqrt 3 } \right)}}{4}.\]
Nhận xét: Bài toán tính diện tích liên quan đến hình tròn và tam giác.
Nhà sách vietjack
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
1) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x} + \frac{5}{y} = 3\\\frac{9}{x} - \frac{{10}}{y} = 1\end{array} \right..\]
2) Giải phương trình: \[\left| {1 - 2x} \right| + \left| {x + 1} \right| = x + 2\].
3) Cho phương trình \[{x^2} - mx + 1 = 0\]. Không giải phương trình, tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn hệ thức:\[{\left( {{x_1} + 1} \right)^2} + {\left( {{x_2} + 1} \right)^2} = 2.\]
1) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x} + \frac{5}{y} = 3\\\frac{9}{x} - \frac{{10}}{y} = 1\end{array} \right..\]
2) Giải phương trình: \[\left| {1 - 2x} \right| + \left| {x + 1} \right| = x + 2\].
3) Cho phương trình \[{x^2} - mx + 1 = 0\]. Không giải phương trình, tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn hệ thức:\[{\left( {{x_1} + 1} \right)^2} + {\left( {{x_2} + 1} \right)^2} = 2.\]
Xem đáp án »
12/07/2024
3,290
Câu 2:
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một xe mô-tô đi từ A đến B (cách nhau 60km) theo thời gian đã định. Nửa quãng đường đầu xe đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định 10km/h và nửa quãng đường sau xe đi với vận tốc chậm hơn vận tốc dự định 6km/h. Biết rằng xe về đến B đúng thời gian quy định, hỏi vận tốc dự định là bao nhiêu?
2) Tìm các giá trị m để hàm số \[y = \left( {\sqrt m - 2} \right)x + 3\] đồng biến.
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một xe mô-tô đi từ A đến B (cách nhau 60km) theo thời gian đã định. Nửa quãng đường đầu xe đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định 10km/h và nửa quãng đường sau xe đi với vận tốc chậm hơn vận tốc dự định 6km/h. Biết rằng xe về đến B đúng thời gian quy định, hỏi vận tốc dự định là bao nhiêu?
2) Tìm các giá trị m để hàm số \[y = \left( {\sqrt m - 2} \right)x + 3\] đồng biến.
Xem đáp án »
12/07/2024
2,143
Câu 3:
Cho biểu thức: \[P = \frac{{x\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}} - \sqrt x \]
1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P?
2) Tính giá trị của P tại x thỏa mãn \[{x^2} - \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 2}}x - \left( {6 + 2\sqrt 5 } \right) = 0?\]
Cho biểu thức: \[P = \frac{{x\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}} - \sqrt x \]
1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P?
2) Tính giá trị của P tại x thỏa mãn \[{x^2} - \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 2}}x - \left( {6 + 2\sqrt 5 } \right) = 0?\]
Xem đáp án »
12/07/2024
1,192
Câu 4:
Cho x, y thỏa mãn: \[{x^2} + {y^2} - 4x - 2 = 0\]. Chứng minh rằng
Cho x, y thỏa mãn: \[{x^2} + {y^2} - 4x - 2 = 0\]. Chứng minh rằng
Xem đáp án »
10/06/2022
603
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận