Cho x, y thỏa mãn: \[{x^2} + {y^2} - 4x - 2 = 0\]. Chứng minh rằng $10-4\sqrt{6}\le x^2+y^2\le 10+4\sqrt{6}$

1) Điều kiện: \[xy \ne 0\]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = a\\\frac{1}{y} = b\end{array} \right.\]. Hệ phương trình trở thành: \[\left\{ \begin{array}{l}6a + 5b = 1\\9a - 10b = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{3 - 5b}}{6}\\9\left( {\frac{{3 - 5b}}{6}} \right) - 10b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( \begin{array}{l}a = \frac{{3 - 5b}}{6}\\\frac{7}{2} = \frac{{35}}{2}b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{1}{5}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{3}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \[\left( {x;y} \right) = \left( {3;5} \right)\].

2) Ta có bảng xét dấu các biểu thức

+ Xét: \[x \le - 1\left( * \right)\].

Phương trình tương đương với: \[\left( {1 - 2x} \right) - \left( {x + 1} \right) = x + 2\]

\[ \Leftrightarrow - 3x = x + 2 \Leftrightarrow 4x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\] (không thỏa mãn điều kiện (*)).

+ Xét: \[ - 1 < x \le \frac{1}{2}\left( {**} \right)\]

Phương trình tương đương với: \[\left( {1 - 2x} \right) + \left( {x + 1} \right) = x + 2\]

\[ \Leftrightarrow 2 - x = x + 2 \Leftrightarrow 0 = 2x \Leftrightarrow x = 0\] (thỏa mãn điều kiện (**)).

+ Xét: \[x > \frac{1}{2}\left( {***} \right)\].

Phương trình tương đương với: \[ - \left( {1 - 2x} \right) + \left( {x + 1} \right) = x + 2\]

\[ \Leftrightarrow 3x = x + 2 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\] (thỏa mãn điều kiện (***)).

Vậy phương trình có nghiệm: \[x = 0;x = 1\].

3) Ta có: \[\Delta = {\left( { - m} \right)^2} - 4.1.1 = {m^2} - 4.\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: \[{m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le - 2\end{array} \right.\].

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} = 1\end{array} \right..\]

Ta có \[{\left( {{x_1} + 1} \right)^2} + {\left( {{x_2} + 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow x_1^2 + 2{x_1} + 1 + x_2^2 + 2{x_2} + 1 = 2\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{x_1}.{x_2} = 0.\]

\[ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \sqrt 3 - 1\left( l \right)\\m = - \sqrt 3 - 1\end{array} \right.\]. Vậy \[m = - \sqrt 3 - 1\].