Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây,

một học sinh phát hiện ra công thức sau:

1 + 3 + 5 + 7 +... + (2n – 1) = n². (1)

a) Hãy chỉ ra công thức (1) đúng với n = 1, 2, 3, 4, 5.

b) Từ việc tô màu trên lưới ô vuông như Hình 1, bạn học sinh khẳng định rằng công thức (1) chắc chắn đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. Khẳng định như vậy đã thuyết phục chưa? Tại sao?

Chứng minh rằng n³ + 2n chia hết cho 3 với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Chứng minh rằng, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, ta có:

a) 52n – 1 chia hết cho 24;

b) n3 + 5n chia hết cho 6.

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2n + 1 > n2 + n + 2.

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$:

a) $1.2+2.3+3.4+\dots +n.(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3};$

b) $1+4+9+\dots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$;

c) $\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{+}{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{2}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}{\mathbf{2}}^{\mathbf{4}}\mathbf{+}\mathbf{\dots }\mathbf{+}{\mathbf{2}}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{=}{\mathbf{2}}^{\mathbf{n}}\mathbf{-}\mathbf{1}$.

Trong mặt phẳng, cho đa giác A₁ A₂ A₃... A_n có n cạnh (n ≥ 3). Gọi S_n là tổng số đo các góc trong của đa giác.

a) Tính S₃, S₄, S₅ tương ứng với trường hợp đa giác là tam giác, tứ giác, ngũ giác.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính S_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$:

(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, người gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi T_n là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ $n(n\in {\mathbb{N}}^{*})$.

a) Tính T₁, T₂, T₃.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính T_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.