Câu hỏi:
12/07/2024 1,596
Chứng minh rằng, với mọi , ta có:
a) 52n – 1 chia hết cho 24;
b) n3 + 5n chia hết cho 6.
Chứng minh rằng, với mọi , ta có:
a) 52n – 1 chia hết cho 24;
b) n3 + 5n chia hết cho 6.
Câu hỏi trong đề:
Bài tập Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Bước 1. Với n = 1, ta có 52.1 – 1 = 24 ⁝ 24. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 52k – 1 ⁝ 24.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
52(k + 1) – 1 ⁝ 24.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
52(k + 1) – 1 = 52k + 2 – 1 = 25 . 52k – 1 = 24 . 52k + (52k – 1)
Vì 24 . 52k và (52k – 1) đều chia hết cho 24 nên 24 . 52k + (52k – 1) ⁝ 24 hay 52(k + 1) – 1 ⁝ 24.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1. Với n = 1, ta có 13 + 5 . 1 = 6 ⁝ 6. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k3 + 5k ⁝ 6.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
(k + 1)3 + 5(k + 1) ⁝ 6.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
(k + 1)3 + 5(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 5k + 5 = (k3 + 5k) + (3k2 + 3k) + 6
= (k3 + 5k) + 3k(k + 1) + 6.
Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, do đó 3k(k + 1) ⁝ 6.
Do đó (k3 + 5k) và 3k(k + 1) đều chia hết cho 6, suy ra (k3 + 5k) + 3k(k + 1) + 6 ⁝ 6 hay (k + 1)3 + 5(k + 1) ⁝ 6.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 3:
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2n + 1 > n2 + n + 2.
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2n + 1 > n2 + n + 2.
Xem đáp án »
12/07/2024
1,731
Câu 5:
Trong mặt phẳng, cho đa giác A1 A2 A3... An có n cạnh (n ≥ 3). Gọi Sn là tổng số đo các góc trong của đa giác.
a) Tính S3, S4, S5 tương ứng với trường hợp đa giác là tam giác, tứ giác, ngũ giác.
b) Từ đó, dự đoán công thức tính Sn và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Trong mặt phẳng, cho đa giác A1 A2 A3... An có n cạnh (n ≥ 3). Gọi Sn là tổng số đo các góc trong của đa giác.
a) Tính S3, S4, S5 tương ứng với trường hợp đa giác là tam giác, tứ giác, ngũ giác.
b) Từ đó, dự đoán công thức tính Sn và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Xem đáp án »
12/07/2024
1,467
Câu 6:
(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, người gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi Tn là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ .
a) Tính T1, T2, T3.
b) Từ đó, dự đoán công thức tính Tn và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, người gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi Tn là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ .
a) Tính T1, T2, T3.
b) Từ đó, dự đoán công thức tính Tn và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Xem đáp án »
11/07/2024
1,354
về câu hỏi!