Bài tập cuối chuyên đề 2 có đáp án

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

a) $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$;

b) $1.4+2.7+3.10+\dots +n(3n+1)=n{(n+1)}^2$;

c) $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\dots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$.

Chứng minh rằng với mọi n $\in {\mathbb{N}}^{*}$:

a) 3n – 1 – 2n chia hết cho 4;

b) 7n – 4n – 3n chia hết cho 12.

Chứng minh rằng 8n ≥ n3 với mọi n $\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Chứng minh rằng bất đẳng thức $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}\le \frac{n+1}{2}$ đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:

Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...

Kí hiệu a_n là lượng nước có trong bình sau bước $n(n\in {\mathbb{N}}^{*})$.

a) Tính a₁, a₂, a₃. Từ đó dự đoán công thức tính a_n với n $\in {\mathbb{N}}^{*}.$

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Tìm hệ số của x³ trong khai triển:

a) (1 – 3x)⁸;

b) ${(1+\frac{x}{2})}^7$.

Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶.

a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)⁶, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần.

b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1,026.

Trong khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁵ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$:

a) $1+2C_n^1+4C_n^2+\dots +2^{n-1}{C}_n^{n-1}+2^n{C}_n^n=3^n;$

b) $C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\dots +C_{2n}^{2n-1}.$