Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

a) $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$;

b) $1.4+2.7+3.10+\dots +n(3n+1)=n{(n+1)}^2$;

c) $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\dots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$.

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 13 = $\frac{1^2{(1+1)}^2}{4}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:$1^3+2^3+3^3+\dots +k^3=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$1^3+2^3+3^3+\dots +k^3+{(k+1)}^3=\frac{{(k+1)}^2{\left[(k+1)+1\right]}^2}{4}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1^3+2^3+3^3+\dots +k^3+{(k+1)}^3$

$=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}+{(k+1)}^3$

$=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}+\frac{4{(k+1)}^3}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^2[k^2+4(k+1)]}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^2(k^2+4k+4)}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^2{(k+2)}^2}{4}=\frac{{(k+1)}^2{[(k+1)+1]}^2}{4}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 + 1)2. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1.4+2.7+3.10+\dots +k(3k+1)=k{(k+1)}^2.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1.4+2.7+3.10+\dots +k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1){\left[(k+1)+1\right]}^2.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:$1.4+2.7+3.10+\dots +k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]$

$=k{(k+1)}^2+(k+1)[3(k+1)+1]$

$=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]$

$=(k+1)(k^2+4k+4)$

$=(k+1){(k+2)}^2=(k+1){[(k+1)+1]}^2.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{(2.1-1)(2.1+1)}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\dots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\dots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\dots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.