Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*. a) 13+23+33+…+n3=n2(n+1)24; b) 1.4+2.7+3.10+…+n(3n+1)=n(n+1)2; c) 11.3+13.5+15.7+…+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1.

Câu hỏi:

14/06/2022 544

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ .

a) $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$ ;

b) $1.4 + 2.7 + 3.10 + \dots + n (3 n + 1) = n {(n + 1)}^{2}$ ;

c) $\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{n}{2 n + 1}$ .

Câu hỏi trong đề: Bài tập cuối chuyên đề 2 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 13 = $\frac{1^{2} {(1 + 1)}^{2}}{4} .$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + k^{3} = \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + k^{3} + {(k + 1)}^{3} = \frac{{(k + 1)}^{2} {[(k + 1) + 1]}^{2}}{4} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + k^{3} + {(k + 1)}^{3}$

$= \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4} + {(k + 1)}^{3}$

$= \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4} + \frac{4 {(k + 1)}^{3}}{4}$

$= \frac{{(k + 1)}^{2} [k^{2} + 4 (k + 1)]}{4}$

$= \frac{{(k + 1)}^{2} (k^{2} + 4 k + 4)}{4}$

$= \frac{{(k + 1)}^{2} {(k + 2)}^{2}}{4} = \frac{{(k + 1)}^{2} {[(k + 1) + 1]}^{2}}{4} .$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 + 1)2. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1.4 + 2.7 + 3.10 + \dots + k (3 k + 1) = k {(k + 1)}^{2} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1.4 + 2.7 + 3.10 + \dots + k (3 k + 1) + (k + 1) [3 (k + 1) + 1] = (k + 1) {[(k + 1) + 1]}^{2} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có: $1.4 + 2.7 + 3.10 + \dots + k (3 k + 1) + (k + 1) [3 (k + 1) + 1]$

$= k {(k + 1)}^{2} + (k + 1) [3 (k + 1) + 1]$

$= (k + 1) [k (k + 1) + 3 (k + 1) + 1]$

$= (k + 1) (k^{2} + 4 k + 4)$

$= (k + 1) {(k + 2)}^{2} = (k + 1) {[(k + 1) + 1]}^{2} .$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{(2.1 - 1) (2.1 + 1)} = \frac{1}{3} = \frac{1}{2.1 + 1} .$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} = \frac{k}{2 k + 1} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có: $\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{k (2 k + 3) + 1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{2 k^{2} + 3 k + 1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{(k + 1) (2 k + 1)}{(2 k + 1) (2 k + 3)} = \frac{k + 1}{2 k + 3} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh rằng bất đẳng thức $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \leq \frac{n + 1}{2}$ đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 9,750

Câu 2:

a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)⁶, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần.

b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1,026.

Xem đáp án » 11/07/2024 1,140

Câu 3:

Chứng minh rằng với mọi n $\in ℕ^{*}$ :

a) 3n – 1 – 2n chia hết cho 4;

b) 7n – 4n – 3n chia hết cho 12.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,070

Câu 4:

Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:

Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...

Kí hiệu a_n là lượng nước có trong bình sau bước $n (n \in ℕ^{})$ .

a) Tính a₁, a₂, a₃. Từ đó dự đoán công thức tính a_n với n $\in ℕ^{} .$

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,041

Câu 5:

Chứng minh rằng 8n ≥ n3 với mọi n $\in ℕ^{*}$ .

Xem đáp án » 14/06/2022 1,011

Câu 6:

Tìm hệ số của x³ trong khai triển:

a) (1 – 3x)⁸;

b) ${(1 + \frac{x}{2})}^{7}$ .

Xem đáp án » 11/07/2024 794

Câu 7:

Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶.

Xem đáp án » 11/07/2024 781

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*. a) 13+23+33+…+n3=n2(n+1)24; b) 1.4+2.7+3.10+…+n(3n+1)=n(n+1)2; c) 11.3+13.5+15.7+…+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1.

Nhà sách VIETJACK:

Chứng minh rằng bất đẳng thức 1+12+13+…+1n≤n+12 đúng với mọi n∈ℕ*.

a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)6, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần. b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1,026.

Chứng minh rằng với mọi n ∈ℕ*: a) 3n – 1 – 2n chia hết cho 4; b) 7n – 4n – 3n chia hết cho 12.

Chứng minh rằng 8n ≥ n3 với mọi n ∈ℕ*.

Tìm hệ số của x3 trong khai triển: a) (1 – 3x)8; b) (1+x2)7.

Tìm hệ số của x5 trong khai triển (2x + 3)(x – 2)6.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh rằng bất đẳng thức $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \leq \frac{n + 1}{2}$ đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ .

a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)⁶, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần.

b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1,026.

Chứng minh rằng với mọi n $\in ℕ^{*}$ :

a) 3n – 1 – 2n chia hết cho 4;

b) 7n – 4n – 3n chia hết cho 12.

Chứng minh rằng 8n ≥ n3 với mọi n $\in ℕ^{*}$ .

Tìm hệ số của x³ trong khai triển:

a) (1 – 3x)⁸;

b) ${(1 + \frac{x}{2})}^{7}$ .

Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶.