Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*. a) 13+23+33+…+n3=n2(n+1)24; b) 1.4+2.7+3.10+…+n(3n+1)=n(n+1)2; c) 11.3+13.5+15.7+…+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1.

Câu hỏi:

14/06/2022 951

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ .

a) $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$ ;

b) $1.4 + 2.7 + 3.10 + \dots + n (3 n + 1) = n {(n + 1)}^{2}$ ;

c) $\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{n}{2 n + 1}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập cuối chuyên đề 2 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 13 = $\frac{1^{2} {(1 + 1)}^{2}}{4} .$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + k^{3} = \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + k^{3} + {(k + 1)}^{3} = \frac{{(k + 1)}^{2} {[(k + 1) + 1]}^{2}}{4} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + k^{3} + {(k + 1)}^{3}$

$= \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4} + {(k + 1)}^{3}$

$= \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4} + \frac{4 {(k + 1)}^{3}}{4}$

$= \frac{{(k + 1)}^{2} [k^{2} + 4 (k + 1)]}{4}$

$= \frac{{(k + 1)}^{2} (k^{2} + 4 k + 4)}{4}$

$= \frac{{(k + 1)}^{2} {(k + 2)}^{2}}{4} = \frac{{(k + 1)}^{2} {[(k + 1) + 1]}^{2}}{4} .$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 + 1)2. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1.4 + 2.7 + 3.10 + \dots + k (3 k + 1) = k {(k + 1)}^{2} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1.4 + 2.7 + 3.10 + \dots + k (3 k + 1) + (k + 1) [3 (k + 1) + 1] = (k + 1) {[(k + 1) + 1]}^{2} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có: $1.4 + 2.7 + 3.10 + \dots + k (3 k + 1) + (k + 1) [3 (k + 1) + 1]$

$= k {(k + 1)}^{2} + (k + 1) [3 (k + 1) + 1]$

$= (k + 1) [k (k + 1) + 3 (k + 1) + 1]$

$= (k + 1) (k^{2} + 4 k + 4)$

$= (k + 1) {(k + 2)}^{2} = (k + 1) {[(k + 1) + 1]}^{2} .$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{(2.1 - 1) (2.1 + 1)} = \frac{1}{3} = \frac{1}{2.1 + 1} .$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} = \frac{k}{2 k + 1} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có: $\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$