Bài tập Cuối chuyên đề 3 có đáp án

Hướng dẫn giải

a) Elip có $a^2 = 169, b^2 = 144$ =>  a = 13, b = 12, $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{169-144}=5.$

Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–13; 0), A₂(13; 0), B₁(0; –12), B₂(0; 12).

Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(–5; 0), F₂(5; 0).

Các bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là MF₁ = a + c/a x = 13 + 5/13 x; MF₂ = a – c/a x = 13 – 5/13x.

b) Hypebol có $a^2 = 25, b^2 = 144$ =>  a = 5, b = 12, $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25+144}=13.$

Toạ độ các đỉnh của hypebol là A₁(–5; 0), A₂(5; 0).

Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là F₁(–13; 0), F₂(13; 0).

Các bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là MF₁ = $|a+\frac{c}{a}x|=|5+\frac{13}{5}x|;$ MF₂ = $|a-\frac{c}{a}x|=|5-\frac{13}{5}x|.$

c) Parabol có 2p = 11, suy ra p = 11/2

Toạ độ đỉnh của parabol là O(0; 0).

Toạ độ tiêu điểm của parabol là F$(\frac{11}{4};0).$

Bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là MF = x + p/2 = x + 11/4

Hướng dẫn giải

a) Có $a^2 = 25, b^2 = 9$ =>  a = 5, b = 3, $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-9}=4,\frac{c}{a}=\frac{4}{5}.$

Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–5; 0), A₂(5; 0), B₁(0; –3), B₂(0; 3).

Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(–4; 0), F₂(4; 0).

Tâm sai của elip là e = 4/5

b) Gọi phương trình chính tắc của (P) là $y^2$ = 2px (p > 0).

(P) có tiêu điểm là F₂(4; 0) => p/2 = 4 => p = 8

=> Phương trình chính tắc của parabol (P) là $y^2$ = 16x.

c) Gọi phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

(H) có hai đỉnh là F₁(–4; 0), F₂(4; 0); hai tiêu điểm là A₁(–5; 0), A₂(5; 0)

=> a = 4, c = 5 => b = $\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3.$

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

Hướng dẫn giải

a) Đây là một elip.

Có $a^2 = 16, b^2 = 12$ $\Rightarrow a=4,b=2\sqrt{3},c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-12}=2,$

e = $\frac{c}{a}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\frac{a}{e}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8.$

Suy ra elip có tiêu điểm F_1$(-2;0)$đường chuẩn Δ₁: x = -8; tiêu điểm F_2(2;0), đường chuẩn Δ₁: x = 8 và tâm sai e = 1/2

b) Đây là một hypebol.

Có $a^2 = 14, b^2 = 2$ $\Rightarrow a=\sqrt{14},b=\sqrt{2},c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{14+2}=\sqrt{16}=4,$

e = $\frac{c}{a}=\frac{4}{\sqrt{14}}=\frac{2\sqrt{14}}{7},\frac{a}{e}=\frac{\sqrt{14}}{\frac{2\sqrt{14}}{7}}=\frac{7}{2}.$

Suy ra hypebol có tiêu điểm F_{1(-4;0_}, đường chuẩn Δ₁: x = –7/2; tiêu điểm F_2(4;0), đường chuẩn Δ₁: x = 7/2 và tâm sai e = $\frac{2\sqrt{14}}{7}.$

c) Đây là một parabol.

CÓ 2p = 7, suy ra p = 7/2

Hướng dẫn giải

a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: 

$\frac{MF}{d(M;\Delta )}=e$$\iff \frac{\sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=\frac{1}{2}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$

$\iff {(1-x)}^2+{(1-y)}^2=\frac{{|x+y-1|}^2}{8}$

$\iff (1-2x+x^2)+(1-2y+y^2)=\frac{x^2+y^2+1+2xy-2x-2y}{8}$

$\iff 8(1-2x+x^2+1-2y+y^2)=x^2+y^2+1+2xy-2x-2y$

$\iff 7x^2+7y^2-2xy-14x-14y+15=0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $7x^2+7y^2-2xy-14x-14y+15=0.$

b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\Delta )}=e$$\iff \frac{\sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=1$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$

$\iff {(1-x)}^2+{(1-y)}^2=\frac{{|x+y-1|}^2}{2}$

$\iff (1-2x+x^2)+(1-2y+y^2)=\frac{x^2+y^2+1+2xy-2x-2y}{2}$

$\iff 2(1-2x+x^2+1-2y+y^2)=x^2+y^2+1+2xy-2x-2y$

$\iff x^2+y^2-2xy-2x-2y+1=0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $x^2+y^2-2xy-2x-2y+1=0.$

c) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\Delta )}=e$$\iff \frac{\sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=2$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=2.\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\sqrt{2}.|x+y-1|$

$\iff {(1-x)}^2+{(1-y)}^2=2{|x+y-1|}^2$

$\iff (1-2x+x^2)+(1-2y+y^2)=2(x^2+y^2+1+2xy-2x-2y)$

$\iff x^2+y^2+4xy-2x-2y=0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $x^2+y^2+4xy-2x-2y=0.$

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm F₁ của elip và trục Ox đi qua hai tiêu điểm của elip, đơn vị trên các trục toạ độ là kilômét.

Khi đó phương trình của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Gọi toạ độ của Mặt Trăng là M(x; y) thì khoảng cách giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là MF₁ = a – ex ≥ a – ea (vì x ≤ a). Do đó khoảng cách gần nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là a – ea, suy ra a – ea = 362600 =>a = $\frac{362600}{1-e}.$

Mặt khác vì x ≥ –a nên a – ex ≤ a + ea nên khoảng cách xa nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là a + ea = a(1 + e) = $\frac{362600}{1-e}(1+e)\approx$ 404726 (km).

Vậy khoảng cách xa nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là 404726 km.