Ta có: $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1$ nên các điểm có toạ độ M₁(x₀; –y₀), M₂(–x₀; y₀), M₃(–x₀; –y₀) cũng thuộc (E).

Câu 2/18

Viết phương trình chính tắc của elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định toạ độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của elip này.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có: elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6 => 2a = 8 và 2b = 6 => a = 4, b = 3 $\Rightarrow c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{7} .$

Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–4; 0), A₂(4; 0), B₁(0; –3), B₂(0; 3).

Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(– $\sqrt{7}$ ; 0), F₂( $\sqrt{7}$ ; 0).

Tiêu cự của elip là 2c = 2 $\sqrt{7}$ .

Độ dài trục lớn là 2a = 8, độ dài trục bé là 2b = 6.

Câu 3/18

Hãy gấp một mảnh giấy có hình clip (Hình 5) thành bốn phần chồng khít lên nhau.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đầu tiên gấp tờ giấy sao cho hai đỉnh đối diện của elip trùng nhau.

Khi đó đường gấp sẽ đi qua hai đỉnh còn lại của elip, gấp tiếp tờ giấy sao cho hai đỉnh còn lại này trùng nhau. Khi đó ta đã gấp elip thành 4 phần chồng khít lên nhau.

Câu 4/18

Cho điểm M(x; y) nằm trên elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ có hai tiêu điểm là F₁(–c; 0), F₂(c; 0) (Hình 6).

a) Tính F₁M2 và F₂M2 theo x, y, c.

b) Chứng tỏ rằng: F₁M2 – F₂M2 = 4cx, F₁M – F₂M = $2 \frac{c x}{a} .$

c) Tính độ dài hai đoạn MF₁ và MF₂ theo a, c, x.

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) F₁M2 = ${[x - (- c)]}^{2} + {(y - 0)}^{2}$ = ${(x + c)}^{2} + y^{2}$ = $x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}$ ;

F₂M2 = ${(x - c)}^{2} + {(y - 0)}^{2} = x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}$

b) F₁M2 – F₂M2 = $(x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}) - (x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2})$ = 4cx.

F₁M2 – F₂M2 = 4cx => (F₁M + F₂M)(F₁M – F₂M) = 4cx => 2a(F₁M – F₂M) = 4cx

=> F₁M – F₂M = 4cx/2a = 2 cx/a

+) Từ F₁M + F₂M = 2a và $F_{1} M - F_{2} M = \frac{2 c}{a} x$ ta suy ra:

(F₁M + F₂M) + (F₁M – F₂M) = 2a + $\frac{2 c}{a} x$ => 2F₁M = 2a + $\frac{2 c}{a} x$ => MF₁ = a + c/a x.

+) Từ F₁M + F₂M = 2a và $F_{1} M - F_{2} M = \frac{2 c}{a} x$ ta suy ra:

(F₁M + F₂M) – (F₁M – F₂M) = 2a – $\frac{2 c}{a} x$ => 2F₂M = 2a – $\frac{2 c}{a} x$ => MF₂ = a – c/a x.

Câu 5/18

a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên elip (E): $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ .

b) Tìm các điểm trên elip $(E) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Có $a^{2} = 64, b^{2} = 36$ => a = 8, b = 6 $\Rightarrow c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7} .$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của M(x; y) là:

MF₁ = a + c/a x = 8 + $\frac{2 \sqrt{7}}{8} x$ = 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4} x;$ MF₂ = a – $\frac{c}{a}$ x = 8 – $\frac{2 \sqrt{7}}{8} x$ = 8 – $\frac{\sqrt{7}}{4} x .$

b) Giả sử M(x; y) nằm trên (E) thoả mãn đề bài. Khi đó:

MF₁ = MF₂ <=> 8 + = 8 – $\frac{\sqrt{7}}{4} x;$ => x = 0 $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 6 \\ y = - 6 \end{array} .$

Vậy có hai điểm thoả mãn đề bài là M₁(0; 6) và M₂(0; –6).

Câu 6/18

Người ta chứng minh được rằng ánh sáng hay âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu (Hình 7a).

Vòm xe điện ngầm của một thành phố có mặt cắt hình elip (Hình 7b). Hãy giải thích tại sao tiếng nói của một người phát ra từ một tiêu điểm bên này, mặc dù khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Vì âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu nên quãng đường âm thanh đã đi là MF₁ + MF₂.

Mà MF₁ + MF₂ = (a + c/a x) + (a – c/a x) = 2a nên quãng đường âm thanh đi luôn không đổi dù đến các điểm khác nhau trên elip, vận tốc âm thanh cũng không đổi nên thời gian âm thanh đã đi cũng không đổi. Do đó âm thanh khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.

Câu 7/18