Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$.

a) Tìm tâm sai, chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở của (E) và vẽ (E).

b) Tìm độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(0; 6) trên (E).

c) Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn của (E).

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6, suy ra c = 3.

– Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 50/3, suy ra $2\frac{a}{e}=\frac{50}{3}$

$\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{25}{3}\Rightarrow \frac{a^2}{c}=\frac{25}{3}\Rightarrow \frac{a^2}{3}=\frac{25}{3}\Rightarrow a^2=25\Rightarrow b^2=a^2-c^2=25-9=16.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$

Hướng dẫn giải

a) Có$a^2 = 64, b^2 = 36$ => a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của M(x; y) là:

MF₁ = a + c/a x = 8 + $\frac{2\sqrt{7}}{8}x$ = 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}x;$ MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x = 8 – $\frac{2\sqrt{7}}{8}x$ = 8 – $\frac{\sqrt{7}}{4}x.$

b) Giả sử M(x; y) nằm trên (E) thoả mãn đề bài. Khi đó:

MF₁ = MF₂ <=> 8 +  = 8 –$\frac{\sqrt{7}}{4}x;$ => x = 0 $\iff [\begin{array}{l}y=6\\ y=-6\end{array}.$

Vậy có hai điểm thoả mãn đề bài là M₁(0; 6) và M₂(0; –6).