Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$.

a) Tìm tâm sai, chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở của (E) và vẽ (E).

b) Tìm độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(0; 6) trên (E).

c) Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn của (E).

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6, suy ra c = 3.

– Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 50/3, suy ra $2\frac{a}{e}=\frac{50}{3}$

$\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{25}{3}\Rightarrow \frac{a^2}{c}=\frac{25}{3}\Rightarrow \frac{a^2}{3}=\frac{25}{3}\Rightarrow a^2=25\Rightarrow b^2=a^2-c^2=25-9=16.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có: elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6 => 2a = 8 và 2b = 6 => a = 4, b = 3 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}.$

Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–4; 0), A₂(4; 0), B₁(0; –3), B₂(0; 3).

Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(–$\sqrt{7}$; 0), F₂($\sqrt{7}$; 0).

Tiêu cự của elip là 2c = 2$\sqrt{7}$.