Bài tập Nhị thức Newton có đáp án

37 người thi tuần này 4.6 1 K lượt thi 16 câu hỏi

Đề số 1

🔥 Học sinh cũng đã học

81 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Phan Huy Chú (Đống Đa-Hà Nội) năm học 2022-2023 có đáp án

1.7 K lượt thi 30 câu hỏi

98 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Yên Viên (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

1.7 K lượt thi 38 câu hỏi

34 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Việt Nam-Ba Lan (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

1.6 K lượt thi 50 câu hỏi

47 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Phúc Lợi (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

1.6 K lượt thi 24 câu hỏi

42 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Nguyễn Trãi (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

1.6 K lượt thi 35 câu hỏi

97 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Ngô Thì Nhậm (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

1.7 K lượt thi 38 câu hỏi

1191 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Lam Hồng (Sóc Sơn-Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

2.8 K lượt thi 38 câu hỏi

46 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Tây Thạnh (TP.HCM) năm học 2022-2023 có đáp án

1.5 K lượt thi 9 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/16

Có ba hộp, mỗi hộp đựng hai quả cầu được dán nhãn a và b (xem Hình 1).

Lấy từ mỗi hộp một quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy để trong ba quả cầu lấy ra:

a) có 3 quả cầu dán nhãn b?

b) có 2 quả cầu dán nhãn b?

c) có 1 quả cầu dán nhãn b?

d) không có quả cầu nào dán nhãn b?

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có $C_{3}^{3}$ = 1 cách lấy ra 3 quả cầu dán nhãn b.

b) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có $C_{3}^{2}$ = 3 cách lấy ra 2 quả cầu dán nhãn b.

c) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có $C_{3}^{1}$ = 3 cách lấy ra 1 quả cầu dán nhãn b.

d) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có $C_{3}^{0}$ = 1 cách lấy ra 1 quả cầu dán nhãn b.

Câu 2/16

Hãy khai triển:

a) ${(x - y)}^{6}$ ;

b) ${(1 + x)}^{7}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) ${(x - y)}^{6}$

$= C_{6}^{0} x^{6} + C_{6}^{1} x^{5} (- y) + C_{6}^{2} x^{4} {(- y)}^{2} + C_{6}^{3} x^{3} {(- y)}^{3}$

$+ C_{6}^{4} x^{2} {(- y)}^{4} + C_{6}^{5} x {(- y)}^{5} + C_{6}^{6} {(- y)}^{6}$

$= x^{6} - C_{6}^{1} x^{5} y + C_{6}^{2} x^{4} y^{2} - C_{6}^{3} x^{3} y^{3} + C_{6}^{4} x^{2} y^{4} - C_{6}^{5} x y^{5} + y^{6}$

$= x^{6} - 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} - 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} - 6 x y^{5} + y^{6} .$

b) ${(1 + x)}^{7}$

$= C_{7}^{0} 1^{7} + C_{7}^{1} 1^{6} x + C_{7}^{2} 1^{5} x^{2} + C_{7}^{3} 1^{4} x^{3}$

$+ C_{7}^{4} 1^{3} x^{4} + C_{7}^{5} 1^{2} x^{5} + C_{7}^{6} 1 x^{6} + C_{7}^{7} x^{7}$

= 1 + 7x + 21x2 + 35x3 + 35x4 + 21x5 + 7x6 + x7.

Câu 3/16

Từ các công thức khai triển:

${(a + b)}^{0}$ = 1;

${(a + b)}^{1}$ = a + b;

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ;

${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ ;

${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4};$

${(a + b)}^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5};$

các hệ số được viết thành bảng số như Hình 2 sau đây. Nếu sử dụng kí hiệu tổ hợp thì nhận được bảng như Hình 3.

Từ các đẳng thức như
$\begin{array}{l} C_{3}^{0} = C_{3}^{3} = 1, & C_{4}^{1} = C_{4}^{3} = 4, \\ C_{3}^{0} + C_{3}^{1} = C_{4}^{1}, & C_{4}^{2} + C_{4}^{3} = C_{5}^{3}, \end{array}$

có thể dự đoán rằng, với mỗi $n \in ℕ^{*}$ ,

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} (0 \leq k \leq n);$

$C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k} (1 \leq k \leq n) .$

Hãy chứng minh các công thức trên.

Gợi ý: Sử dụng công thức $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}, n \in ℕ, 0 \leq k \leq n .$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

+) Có $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}, C_{n}^{n - k} = \frac{n!}{(n - k)! [n - (n - k)]!} = \frac{n!}{(n - k)! k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!} .$

Vậy $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} .$

+) $C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!} + \frac{n!}{k! (n - k)!}$

$= \frac{\frac{(n + 1)!}{n + 1}}{\frac{k!}{k} (n - k + 1)!} + \frac{\frac{(n + 1)!}{n + 1}}{k! \frac{(n - k + 1)!}{(n - k + 1)}} = \frac{k}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! (n - k + 1)!} + \frac{n - k + 1}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! (n - k + 1)!}$

$= \frac{k}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! [(n + 1) - k]!} + \frac{n - k + 1}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! [(n + 1) - k]!}$

$= \frac{k}{n + 1} . C_{n + 1}^{k} + \frac{n - k + 1}{n + 1} . C_{n + 1}^{k} = (\frac{k}{n + 1} + \frac{n - k + 1}{n + 1}) C_{n + 1}^{k}$

= \frac{k + (n - k + 1)}{n + 1} C_{n + 1}^{k} = \frac{n + 1}{n + 1} C_{n + 1}^{k} = C_{n + 1}^{k} .

Câu 4/16

Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển:

a) ${(2 x + 1)}^{6}$ ;

b) ${(x - y)}^{7}$

.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) ${(2 x + 1)}^{6}$

$= {(2 x)}^{6} + 6 {(2 x)}^{5} 1 + 15 {(2 x)}^{4} 1^{2} + 20 {(2 x)}^{3} 1^{3} + 15 {(2 x)}^{2} 1^{4} + 6 (2 x) 1^{5} + 1^{6}$

$= 64 x^{6} + 192 x^{5} + 240 x^{4} + 160 x^{3} + 60 x^{2} + 12 x + 1.$

b) ${(x - y)}^{7}$

$= x^{7} + 7 x^{6} (- y) + 21 x^{5} {(- y)}^{2} + 35 x^{4} {(- y)}^{3} + 35 x^{3} {(- y)}^{4} + 21 x^{2} {(- y)}^{5} + 7 x {(- y)}^{6} + {(- y)}^{7}$

Câu 5/16

Xác định hệ số của x2 trong khai triển ${(3 x + 2)}^{9}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

{(3 x + 2)}^{9}

$C_{9}^{0} {(3 x)}^{9} + C_{9}^{1} {(3 x)}^{8} 2 + ... + C_{9}^{k} {(3 x)}^{9 - k} 2^{k} + ... + C_{9}^{9} 2^{9} .$

Số hạng chứa $x^{2}$ ứng với giá trị k = 7. Hệ số của số hạng này là $C_{9}^{7} 3^{2} 2^{7} = 41472.$

Câu 6/16

Biết rằng trong khai triển ${(x + a)}^{6}$ với a là một số thực, hệ số của $x^{4}$ là 60. Tìm giá trị của a.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

{(x + a)}^{6}

C_{6}^{0} x^{6} + C_{6}^{1} x^{5} a + ... + C_{6}^{k} x^{6 - k} a^{k} + ... + C_{6}^{6} a^{6} .

Số hạng chứa x4 ứng với giá trị k = 2. Hệ số của số hạng này là $C_{6}^{2} a^{2} = 15 a^{2} .$

Theo giả thiết, ta có 15 $a^{2}$ = 60, suy ra a = 2 hoặc a = –2.

Vậy a = 2 hoặc a = –2.

Câu 7/16