Bài tập Nhị thức Newton có đáp án

29 người thi tuần này 4.6 1 K lượt thi 16 câu hỏi

Đề số 1

🔥 Học sinh cũng đã học

Bài tập Ứng dụng để giải các bài toán thực tế lớp 10 (có lời giải)

11 lượt thi 10 câu hỏi

11 người thi tuần này

Bài tập Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10 (có lời giải)

22 lượt thi 10 câu hỏi

12 người thi tuần này

Bài tập Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai vào các bài toán thực tế lớp 10 (có lời giải)

75 lượt thi 10 câu hỏi

11 người thi tuần này

Bài tập Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lớp 10 (có lời giải)

74 lượt thi 10 câu hỏi

10 người thi tuần này

Bài tập Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai lớp 10 (có lời giải)

73 lượt thi 10 câu hỏi

9 người thi tuần này

Bài tập Giải bất phương trình bậc hai lớp 10 (có lời giải)

72 lượt thi 10 câu hỏi

21 người thi tuần này

Bài tập Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai lớp 10 (có lời giải)

84 lượt thi 10 câu hỏi

7 người thi tuần này

Bài tập Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương lớp 10 (có lời giải)

47 lượt thi 10 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/16

Có ba hộp, mỗi hộp đựng hai quả cầu được dán nhãn a và b (xem Hình 1).

Lấy từ mỗi hộp một quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy để trong ba quả cầu lấy ra:

a) có 3 quả cầu dán nhãn b?

b) có 2 quả cầu dán nhãn b?

c) có 1 quả cầu dán nhãn b?

d) không có quả cầu nào dán nhãn b?

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có $C_{3}^{3}$ = 1 cách lấy ra 3 quả cầu dán nhãn b.

b) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có $C_{3}^{2}$ = 3 cách lấy ra 2 quả cầu dán nhãn b.

c) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có $C_{3}^{1}$ = 3 cách lấy ra 1 quả cầu dán nhãn b.

d) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có $C_{3}^{0}$ = 1 cách lấy ra 1 quả cầu dán nhãn b.

Câu 2/16

Hãy khai triển:

a) ${(x - y)}^{6}$ ;

b) ${(1 + x)}^{7}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) ${(x - y)}^{6}$

$= C_{6}^{0} x^{6} + C_{6}^{1} x^{5} (- y) + C_{6}^{2} x^{4} {(- y)}^{2} + C_{6}^{3} x^{3} {(- y)}^{3}$

$+ C_{6}^{4} x^{2} {(- y)}^{4} + C_{6}^{5} x {(- y)}^{5} + C_{6}^{6} {(- y)}^{6}$

$= x^{6} - C_{6}^{1} x^{5} y + C_{6}^{2} x^{4} y^{2} - C_{6}^{3} x^{3} y^{3} + C_{6}^{4} x^{2} y^{4} - C_{6}^{5} x y^{5} + y^{6}$

$= x^{6} - 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} - 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} - 6 x y^{5} + y^{6} .$

b) ${(1 + x)}^{7}$

$= C_{7}^{0} 1^{7} + C_{7}^{1} 1^{6} x + C_{7}^{2} 1^{5} x^{2} + C_{7}^{3} 1^{4} x^{3}$

$+ C_{7}^{4} 1^{3} x^{4} + C_{7}^{5} 1^{2} x^{5} + C_{7}^{6} 1 x^{6} + C_{7}^{7} x^{7}$

= 1 + 7x + 21x2 + 35x3 + 35x4 + 21x5 + 7x6 + x7.

Câu 3/16

Từ các công thức khai triển:

${(a + b)}^{0}$ = 1;

${(a + b)}^{1}$ = a + b;

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ;

${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ ;

${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4};$

${(a + b)}^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5};$

các hệ số được viết thành bảng số như Hình 2 sau đây. Nếu sử dụng kí hiệu tổ hợp thì nhận được bảng như Hình 3.

Từ các đẳng thức như
$\begin{array}{l} C_{3}^{0} = C_{3}^{3} = 1, & C_{4}^{1} = C_{4}^{3} = 4, \\ C_{3}^{0} + C_{3}^{1} = C_{4}^{1}, & C_{4}^{2} + C_{4}^{3} = C_{5}^{3}, \end{array}$

có thể dự đoán rằng, với mỗi $n \in ℕ^{*}$ ,

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} (0 \leq k \leq n);$

$C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k} (1 \leq k \leq n) .$

Hãy chứng minh các công thức trên.

Gợi ý: Sử dụng công thức $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}, n \in ℕ, 0 \leq k \leq n .$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

+) Có $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}, C_{n}^{n - k} = \frac{n!}{(n - k)! [n - (n - k)]!} = \frac{n!}{(n - k)! k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!} .$

Vậy $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} .$

+) $C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!} + \frac{n!}{k! (n - k)!}$

$= \frac{\frac{(n + 1)!}{n + 1}}{\frac{k!}{k} (n - k + 1)!} + \frac{\frac{(n + 1)!}{n + 1}}{k! \frac{(n - k + 1)!}{(n - k + 1)}} = \frac{k}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! (n - k + 1)!} + \frac{n - k + 1}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! (n - k + 1)!}$

$= \frac{k}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! [(n + 1) - k]!} + \frac{n - k + 1}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! [(n + 1) - k]!}$

$= \frac{k}{n + 1} . C_{n + 1}^{k} + \frac{n - k + 1}{n + 1} . C_{n + 1}^{k} = (\frac{k}{n + 1} + \frac{n - k + 1}{n + 1}) C_{n + 1}^{k}$

= \frac{k + (n - k + 1)}{n + 1} C_{n + 1}^{k} = \frac{n + 1}{n + 1} C_{n + 1}^{k} = C_{n + 1}^{k} .

Câu 4/16

Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển:

a) ${(2 x + 1)}^{6}$ ;

b) ${(x - y)}^{7}$

.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) ${(2 x + 1)}^{6}$

$= {(2 x)}^{6} + 6 {(2 x)}^{5} 1 + 15 {(2 x)}^{4} 1^{2} + 20 {(2 x)}^{3} 1^{3} + 15 {(2 x)}^{2} 1^{4} + 6 (2 x) 1^{5} + 1^{6}$

$= 64 x^{6} + 192 x^{5} + 240 x^{4} + 160 x^{3} + 60 x^{2} + 12 x + 1.$

b) ${(x - y)}^{7}$

$= x^{7} + 7 x^{6} (- y) + 21 x^{5} {(- y)}^{2} + 35 x^{4} {(- y)}^{3} + 35 x^{3} {(- y)}^{4} + 21 x^{2} {(- y)}^{5} + 7 x {(- y)}^{6} + {(- y)}^{7}$

Câu 5/16

Xác định hệ số của x2 trong khai triển ${(3 x + 2)}^{9}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

{(3 x + 2)}^{9}

$C_{9}^{0} {(3 x)}^{9} + C_{9}^{1} {(3 x)}^{8} 2 + ... + C_{9}^{k} {(3 x)}^{9 - k} 2^{k} + ... + C_{9}^{9} 2^{9} .$

Số hạng chứa $x^{2}$ ứng với giá trị k = 7. Hệ số của số hạng này là $C_{9}^{7} 3^{2} 2^{7} = 41472.$

Câu 6/16

Biết rằng trong khai triển ${(x + a)}^{6}$ với a là một số thực, hệ số của $x^{4}$ là 60. Tìm giá trị của a.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

{(x + a)}^{6}

C_{6}^{0} x^{6} + C_{6}^{1} x^{5} a + ... + C_{6}^{k} x^{6 - k} a^{k} + ... + C_{6}^{6} a^{6} .

Số hạng chứa x4 ứng với giá trị k = 2. Hệ số của số hạng này là $C_{6}^{2} a^{2} = 15 a^{2} .$

Theo giả thiết, ta có 15 $a^{2}$ = 60, suy ra a = 2 hoặc a = –2.

Vậy a = 2 hoặc a = –2.

Câu 7/16