Bài tập Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có đáp án

Chúng ta đã biết cách mô tả mối liên hệ giữa hai ẩn số x, y phải thoả mãn đồng thời hai điều kiện a₁x + b₁y = c₁ (a₁2 + b₁2 > 0) và a₂x + b₂y = c₂ (a₂2 + b₂2 > 0) bằng cách sử dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

Trong bài học này, ta sẽ học cách giải quyết tình huống cần mô tả mối liên hệ giữa ba ẩn số x, y, z phải thoả mãn đồng thời ba điều kiện:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁; a₂x + b₂y + c₂z = d₂ và a₃x + b₃y + c₃z = d₃.

Ba lớp 10A, 10B, 10C gồm 128 học sinh cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi học sinh lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi học sinh lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi học sinh lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả 3 lớp trồng được 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh của các lớp 10A, 10B, 10C.

a) Lập các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z.

b) Trong bảng dữ liệu sau, chọn các số liệu phù hợp với số học sinh của mỗi lớp 10A, 10B, 10C và giải thích sự lựa chọn của bạn.

Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (1; 5; 2), (1; 1; 1) và (–1; 2; 3) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?

(1) $\{\begin{array}{l}4x-2y+z=5\\ 4xz-5y+2z=-7\\ -x+3y+2z=3\end{array}.$

(2) $\{\begin{array}{l}x+2z=5\\ 2x-y+z=-1\\ 3x-2y=-7\end{array}.$

Cho các hệ phương trình:

(1) $\{\begin{array}{l}2x-y+z=1\\ 3y-z=2\\ 2z=3\end{array};$

(2) $\{\begin{array}{l}2x-y+z=1\\ 2y+z=-1\\ 2y-z=-4\end{array}.$

a) Hệ phương trình (1) có gì đặc biệt? Giải hệ phương trình này.

b) Biến đổi hệ phương trình (2) về dạng như hệ phương trình (1). Giải hệ phương trình (2).

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a) $\{\begin{array}{l}x-2y=1\\ x+2y-z=-2\\ x-3y+z=3\end{array};$

b) $\{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ x+2y-z=1\\ 2x-3y+3z=2\end{array};$

c) $\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ x-4y+2z=-1\\ 4x-y+3z=1\end{array}.$

Tìm phương trình của parabol (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), biết (P) đi qua ba điểm A(0; –1), B(1; –2) và C(2; –1).

Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{array}{l}2x+y-z=-1\\ x+3y+2z=2\\ 3x+3y-3z=-5;\end{array}$ 

b) $\{\begin{array}{l}2x-3y+2z=5\\ x+2y-3z=4\\ 3x-y-z=2;\end{array}$ 

c) $\{\begin{array}{l}x-y-z=-1\\ 2x-y+z=-1\\ -4x+3y+z=3.\end{array}$

Ba bạn Nhân, Nghĩa và Phúc đi vào căng tin của trường. Nhân mua một li trà sữa, một li nước trái cây, hai cái bánh ngọt và trả 90000 đồng. Nghĩa mua một li trà sữa, ba cái bánh ngọt và trả 50000 đồng. Phúc mua một li trà sữa, hai li nước trái cây, ba cái bánh ngọt và trả 140000 đồng. Gọi x, y, z lần lượt là giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó.

a) Lập các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z.

b) Tìm giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó.

Trong các hệ phương trình sau, hệ nào là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (–1; 2; 1), (–1,5; 0,25; –1,25) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?

a) $\{\begin{array}{l}3x-2y+z=-6\\ -2x+y+3z=7\\ 4x-y+7z=1\end{array};$

b) $\{\begin{array}{l}5x-2y+3z=4\\ 3x+2yz-z=2\\ x-3y+2z=-1\end{array};$

c) $\{\begin{array}{l}2x-4y-3z=\frac{-1}{4}\\ 3x+8y-4z=\frac{5}{2}\\ 2x+3y-2z=\frac{1}{4}\end{array}.$

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a) $\{\begin{array}{l}2x+3y=4\\ x-3y=2\\ 2x+y-z=3\end{array};$

b) $\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x+3y+2z=8\\ 3x-y+z=4\end{array};$

c) $\{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ 2x+y+4z=2\\ x+2y-z=4\end{array}.$

Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{array}{l}x-5z=2\\ 3x+y-4z=3\\ -x+2y+z=-1\end{array};$

b) $\{\begin{array}{l}2x-y+z=3\\ x+2y-z=1\\ 3x+y-2z=2\end{array};$

c) $\{\begin{array}{l}x+2y-z=1\\ 2x+y-2z=2\\ 4x-7y-4z=4\end{array}.$

Tìm phương trình của parabol (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), biết:

a) Parabol (P) có trục đối xứng x = 1 và đi qua hai điểm A(1; –4), B(2; –3);

b) Parabol (P) có đỉnh I= $(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$ và đi qua điểm M(–1; 3).

Một đại lí bán ba loại gas A, B, C với giá bán mỗi bình gas lần lượt là 520000 đồng, 480000 đồng, 420000 đồng. Sau một tháng, đại lí đã bán được 1299 bình gas các loại với tổng doanh thu đạt 633960000 đồng. Biết rằng trong tháng đó, đại lí bán được số bình gas loại B bằng một nửa tổng số bình gas loại A và C. Tính số bình gas mỗi loại mà đại lí bán được trong tháng đó.