Ba bạn Nhân, Nghĩa và Phúc đi vào căng tin của trường. Nhân mua một li trà sữa, một li nước trái cây, hai cái bánh ngọt và trả 90000 đồng. Nghĩa mua một li trà sữa, ba cái bánh ngọt và trả 50000 đồng. Phúc mua một li trà sữa, hai li nước trái cây, ba cái bánh ngọt và trả 140000 đồng. Gọi x, y, z lần lượt là giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó.

a) Lập các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z.

b) Tìm giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó.

Hướng dẫn giải

a) $\{\begin{array}{l}x-2y=1\\ x+2y-z=-2\\ x-3y+z=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ x-3y+z=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ y-z=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ -3z=-5\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{5}{3}).$

b) $\{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ x+2y-z=1\\ 2x-3y+3z=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 2x-3y+3z=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 7y-5z=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 0y+0z=-3\end{array}.$

Phương trình thứ ba của hệ này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ x-4y+2z=-1\\ 4x-y+3z=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\\ 4x-y+3z=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\\ -3y+z=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\end{array}.$

Từ phương trình thứ hai, ta có z = 3y – 1, thay vào phương trình thứ nhất ta được x = –2y + 1.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–2y + 1; y; 3y – 1).

Hướng dẫn giải

a) $\{\begin{array}{l}2x+3y=4\\ x-3y=2\\ 2x+y-z=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2x+3y=4\\ 3x=6\\ 2x+y-z=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2.2+3y=4\\ x=2\\ 2x+y-z=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=0\\ x=2\\ 2x+y-z=3\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}y=0\\ x=2\\ 2.2+0-z=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=0\\ x=2\\ z=1\end{array}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; 0; 1).

b) $\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x+3y+2z=8\\ 3x-y+z=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 3x-y+z=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 4y+2z=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 2y+z=1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 0y+0z=-5\end{array}.$

Phương trình thứ ba của hệ này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $\{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ 2x+y+4z=2\\ x+2y-z=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -3y+6z=-6\\ x+2y-z=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -3y+6z=-6\\ -3y+6z=-6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -3y+6z=-6\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -y+2z=-2\end{array}.$

Từ phương trình thứ hai, ta có y = 2z + 2, thay vào phương trình thứ nhất ta được x = –3z.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–3z; 2z + 2; z).