Câu hỏi:

14/06/2022 389

Từ các công thức khai triển:

${(a + b)}^{0}$ = 1;

${(a + b)}^{1}$ = a + b;

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ;

${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ ;

${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4};$

${(a + b)}^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5};$

các hệ số được viết thành bảng số như Hình 2 sau đây. Nếu sử dụng kí hiệu tổ hợp thì nhận được bảng như Hình 3.

Từ các đẳng thức như
$\begin{array}{l} C_{3}^{0} = C_{3}^{3} = 1, & C_{4}^{1} = C_{4}^{3} = 4, \\ C_{3}^{0} + C_{3}^{1} = C_{4}^{1}, & C_{4}^{2} + C_{4}^{3} = C_{5}^{3}, \end{array}$

có thể dự đoán rằng, với mỗi $n \in ℕ^{*}$ ,

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} (0 \leq k \leq n);$

$C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k} (1 \leq k \leq n) .$

Hãy chứng minh các công thức trên.

Gợi ý: Sử dụng công thức $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}, n \in ℕ, 0 \leq k \leq n .$

Câu hỏi trong đề: Bài tập Nhị thức Newton có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

+) Có $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}, C_{n}^{n - k} = \frac{n!}{(n - k)! [n - (n - k)]!} = \frac{n!}{(n - k)! k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!} .$

Vậy $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} .$

+) $C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!} + \frac{n!}{k! (n - k)!}$

$= \frac{\frac{(n + 1)!}{n + 1}}{\frac{k!}{k} (n - k + 1)!} + \frac{\frac{(n + 1)!}{n + 1}}{k! \frac{(n - k + 1)!}{(n - k + 1)}} = \frac{k}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! (n - k + 1)!} + \frac{n - k + 1}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! (n - k + 1)!}$

$= \frac{k}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! [(n + 1) - k]!} + \frac{n - k + 1}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! [(n + 1) - k]!}$

$= \frac{k}{n + 1} . C_{n + 1}^{k} + \frac{n - k + 1}{n + 1} . C_{n + 1}^{k} = (\frac{k}{n + 1} + \frac{n - k + 1}{n + 1}) C_{n + 1}^{k}$

= \frac{k + (n - k + 1)}{n + 1} C_{n + 1}^{k} = \frac{n + 1}{n + 1} C_{n + 1}^{k} = C_{n + 1}^{k} .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025

Đã bán 321

₫ 136.000 ₫ 40.000

Hà Nội

Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025

Đã bán 100

₫ 40.500 ₫ 13.600

Hà Nội

Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack

Đã bán 218

₫ 130.000 ₫ 75.000

Hà Nội

Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack

Đã bán 1k

₫ 104.000 ₫ 52.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng (3x – 1)⁷ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ + a₆x⁶ + a₇x⁷. Hãy tính:

a) a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇;

b) a₀ + a₂ + a₄ + a₆.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,566

Câu 2:

Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. Có tất cả bao nhiêu cách lấy, tính cả trường hợp lấy không quả (tức không lấy quả nào)?

Xem đáp án » 12/07/2024 3,302

Câu 3:

Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của (ax + 1)⁶, hệ số của x4 gấp bốn lần hệ số của x². Tìm giá trị của a.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,192

Câu 4:

Từ 15 bút chì màu có màu khác nhau đôi một,

a) Có bao nhiêu cách chọn ra một số bút chì màu, tính cả trường hợp không chọn cái nào?

b) Có bao nhiêu cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu?

Xem đáp án » 12/07/2024 3,058

Câu 5:

Một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con?

Xem đáp án » 12/07/2024 3,026

Câu 6:

Xác định hệ số của x2 trong khai triển ${(3 x + 2)}^{9}$ .

Xem đáp án » 14/06/2022 2,804

Câu 7:

Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển của biểu thức (2 – x)¹².

Xem đáp án » 11/07/2024 1,817

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Biết rằng (3x – 1)7 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + a6x6 + a7x7. Hãy tính: a) a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7; b) a0 + a2 + a4 + a6.

Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. Có tất cả bao nhiêu cách lấy, tính cả trường hợp lấy không quả (tức không lấy quả nào)?

Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của (ax + 1)6, hệ số của x4 gấp bốn lần hệ số của x2. Tìm giá trị của a.

Từ 15 bút chì màu có màu khác nhau đôi một, a) Có bao nhiêu cách chọn ra một số bút chì màu, tính cả trường hợp không chọn cái nào? b) Có bao nhiêu cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu?

Một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con?

Xác định hệ số của x2 trong khai triển (3x + 2)9.

Tìm hệ số của x10 trong khai triển của biểu thức (2 – x)12.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Biết rằng (3x – 1)⁷ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ + a₆x⁶ + a₇x⁷. Hãy tính:

a) a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇;

b) a₀ + a₂ + a₄ + a₆.

Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của (ax + 1)⁶, hệ số của x4 gấp bốn lần hệ số của x². Tìm giá trị của a.

Từ 15 bút chì màu có màu khác nhau đôi một,

a) Có bao nhiêu cách chọn ra một số bút chì màu, tính cả trường hợp không chọn cái nào?

b) Có bao nhiêu cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu?

Xác định hệ số của x2 trong khai triển ${(3 x + 2)}^{9}$ .

Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển của biểu thức (2 – x)¹².