Từ các công thức khai triển:

${(a + b)}^{0}$ = 1;

${(a + b)}^{1}$ = a + b;

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ;

${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ ;

${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4};$

${(a + b)}^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5};$

các hệ số được viết thành bảng số như Hình 2 sau đây. Nếu sử dụng kí hiệu tổ hợp thì nhận được bảng như Hình 3.

Từ các đẳng thức như
$\begin{array}{l} C_{3}^{0} = C_{3}^{3} = 1, & C_{4}^{1} = C_{4}^{3} = 4, \\ C_{3}^{0} + C_{3}^{1} = C_{4}^{1}, & C_{4}^{2} + C_{4}^{3} = C_{5}^{3}, \end{array}$

có thể dự đoán rằng, với mỗi $n \in ℕ^{*}$ ,

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} (0 \leq k \leq n);$

$C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k} (1 \leq k \leq n) .$

Hãy chứng minh các công thức trên.

Gợi ý: Sử dụng công thức $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}, n \in ℕ, 0 \leq k \leq n .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Nhị thức Newton có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

+) Có $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}, C_{n}^{n - k} = \frac{n!}{(n - k)! [n - (n - k)]!} = \frac{n!}{(n - k)! k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!} .$

Vậy $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} .$

+) $C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!} + \frac{n!}{k! (n - k)!}$

$= \frac{\frac{(n + 1)!}{n + 1}}{\frac{k!}{k} (n - k + 1)!} + \frac{\frac{(n + 1)!}{n + 1}}{k! \frac{(n - k + 1)!}{(n - k + 1)}} = \frac{k}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! (n - k + 1)!} + \frac{n - k + 1}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! (n - k + 1)!}$

$= \frac{k}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! [(n + 1) - k]!} + \frac{n - k + 1}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{k! [(n + 1) - k]!}$

$= \frac{k}{n + 1} . C_{n + 1}^{k} + \frac{n - k + 1}{n + 1} . C_{n + 1}^{k} = (\frac{k}{n + 1} + \frac{n - k + 1}{n + 1}) C_{n + 1}^{k}$

= \frac{k + (n - k + 1)}{n + 1} C_{n + 1}^{k} = \frac{n + 1}{n + 1} C_{n + 1}^{k} = C_{n + 1}^{k} .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Biết rằng (3x – 1)⁷ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ + a₆x⁶ + a₇x⁷. Hãy tính:

a) a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇;

b) a₀ + a₂ + a₄ + a₆.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Có (3x – 1)⁷

$= C_{7}^{0} {(3 x)}^{7} + C_{7}^{1} {(3 x)}^{6} (- 1) + C_{7}^{2} {(3 x)}^{5} {(- 1)}^{2} + C_{7}^{3} {(3 x)}^{4} {(- 1)}^{3}$

$+ C_{7}^{4} {(3 x)}^{3} {(- 1)}^{4} + C_{7}^{5} {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{5} + C_{7}^{6} {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{6} + C_{7}^{7} {(- 1)}^{7}$

= 2187x7 – 5103x6 + 5103x5 – 2835x4 + 945x3 – 189x2 + 21x – 1.

a) a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇

= (–1) + 21 + (–189) + 945 + (–2835) + 5103 + (–5103) + 2187 = 128.

b) a₀ + a₂ + a₄ + a₆

= (–1) + (–189) + (–2835) + (–5103) = –8128.

Câu 2

Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. Có tất cả bao nhiêu cách lấy, tính cả trường hợp lấy không quả (tức không lấy quả nào)?

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Số cách lấy k quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B là $C_{10}^{k}$ với 0 ≤ k ≤ 10.

Như vậy có tất cả $C_{10}^{0} + C_{10}^{1} + C_{10}^{2} + ... + C_{10}^{9} + C_{10}^{10}$ cách.

Lại có $C_{10}^{0} + C_{10}^{1} + C_{10}^{2} + ... + C_{10}^{9} + C_{10}^{10} = 2^{10} = 1024$

nên có tổng cộng 1024 cách lấy.

Câu 3