Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1), trang 35 ) bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Nhị thức Newton có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

+) Với n = 1, ta có: (a + b)1 = a + b = $C_{1}^{0} a^{1} + C_{1}^{1} b^{1} .$

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k ≥ 1 là một số nguyên dương tuỳ ý mà công thức đúng đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

${(a + b)}^{k + 1} = C_{k + 1}^{0} a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{(k + 1) - 1} b + ... + C_{k + 1}^{(k + 1) - 1} a b^{(k + 1) - 1} + C_{k + 1}^{k + 1} b^{k + 1} .$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(a + b)}^{k} = C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + ... + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k} .$

Khi đó:

${(a + b)}^{k + 1} = (a + b) {(a + b)}^{k}$

$= a {(a + b)}^{k} + b {(a + b)}^{k}$

$= a (C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + ... + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k})$

$+ b (C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + ... + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k})$

$= (C_{k}^{0} a^{k + 1} + C_{k}^{1} a^{k} b + C_{k}^{2} a^{k - 1} b^{2} + ... + C_{k}^{k - 1} a^{2} b^{k - 1} + C_{k}^{k} a b^{k})$

$+ (C_{k}^{0} a^{k} b + C_{k}^{1} a^{k - 1} b^{2} + ... + C_{k}^{k - 2} a^{2} b^{k - 1} + C_{k}^{k - 1} a b^{k} + C_{k}^{k} b^{k + 1})$

$= C_{k}^{0} a^{k + 1} + (C_{k}^{0} + C_{k}^{1}) a^{k} b + (C_{k}^{1} + C_{k}^{2}) a^{k - 1} b^{2} + ...$

$+ (C_{k}^{k - 2} + C_{k}^{k - 1}) a^{2} b^{k - 1} + (C_{k}^{k - 1} + C_{k}^{k}) a b^{k} + C_{k}^{k} b^{k + 1}$

$= 1. a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{k} b + C_{k + 1}^{2} a^{k - 1} b^{2} + ... + C_{k + 1}^{k - 1} a^{2} b^{k - 1} + C_{k + 1}^{k} a b^{k} + 1. b^{k + 1}$

(vì $C_{k}^{i} + C_{k}^{i + 1} = C_{k + 1}^{i + 1} \forall 0 \leq i \leq k$ , i $\in$ ℕ, k $\in$ ℕ*)

$= C_{k + 1}^{0} a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{(k + 1) - 1} b + ... + C_{k + 1}^{(k + 1) - 1} a b^{(k + 1) - 1} + C_{k + 1}^{k + 1} b^{k + 1} .$

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ*.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Biết rằng (3x – 1)⁷ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ + a₆x⁶ + a₇x⁷. Hãy tính:

a) a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇;

b) a₀ + a₂ + a₄ + a₆.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Có (3x – 1)⁷

$= C_{7}^{0} {(3 x)}^{7} + C_{7}^{1} {(3 x)}^{6} (- 1) + C_{7}^{2} {(3 x)}^{5} {(- 1)}^{2} + C_{7}^{3} {(3 x)}^{4} {(- 1)}^{3}$

$+ C_{7}^{4} {(3 x)}^{3} {(- 1)}^{4} + C_{7}^{5} {(3 x)}^{2} {(- 1)}^{5} + C_{7}^{6} {(3 x)}^{1} {(- 1)}^{6} + C_{7}^{7} {(- 1)}^{7}$

= 2187x7 – 5103x6 + 5103x5 – 2835x4 + 945x3 – 189x2 + 21x – 1.

a) a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇

= (–1) + 21 + (–189) + 945 + (–2835) + 5103 + (–5103) + 2187 = 128.

b) a₀ + a₂ + a₄ + a₆

= (–1) + (–189) + (–2835) + (–5103) = –8128.

Câu 2

Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. Có tất cả bao nhiêu cách lấy, tính cả trường hợp lấy không quả (tức không lấy quả nào)?

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Số cách lấy k quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B là $C_{10}^{k}$ với 0 ≤ k ≤ 10.

Như vậy có tất cả $C_{10}^{0} + C_{10}^{1} + C_{10}^{2} + ... + C_{10}^{9} + C_{10}^{10}$ cách.

Lại có $C_{10}^{0} + C_{10}^{1} + C_{10}^{2} + ... + C_{10}^{9} + C_{10}^{10} = 2^{10} = 1024$

nên có tổng cộng 1024 cách lấy.

Câu 3