Cho điểm M(x; y) nằm trên elip (E): x2a2+y2b2=1 có hai tiêu điểm là F1(–c; 0), F2(c; 0) (Hình 6). a) Tính F1M2 và F2M2 theo x, y, c. b) Chứng tỏ rằng: F1M2 – F2M2 = 4cx, F1M – F2M = 2cxa. c) Tính độ...

Hướng dẫn giải a) F1M2 = [x-(-c)]2 + (y-0)2 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2; F2M2 = (x – c)2 + (y – 0)2 = x2 – 2cx + c2 + y2 b) F1M2 – F2M2 = (x2 + 2cx + c2 + y2) – (x2 - 2cx + c2 + y2) = 4cx. F1M2 – F2M2 = 4cx => (F1M + F2M)(F1M – F2M) = 4cx => 2a(F1M – F2M) = 4cx => F1M – F2M = 4cx/2a = 2 cx/a c) +) Từ F1M + F2M = 2a và F1M−F2M=2cax ta suy ra: (F1M + F2M) + (F1M – F2M) = 2a + 2cax => 2F1M = 2a + 2cax => MF1 = a + c/a x. +) Từ F1M + F2M = 2a và F1M−F2M=2cax ta suy ra: (F1M + F2M) – (F1M – F2M) = 2a – 2cax => 2F2M = 2a – 2cax => MF2 = a – c/a x.

Câu hỏi:

11/07/2024 2,748

Cho điểm M(x; y) nằm trên elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ có hai tiêu điểm là F₁(–c; 0), F₂(c; 0) (Hình 6).

a) Tính F₁M2 và F₂M2 theo x, y, c.

b) Chứng tỏ rằng: F₁M2 – F₂M2 = 4cx, F₁M – F₂M = $2 \frac{c x}{a} .$

c) Tính độ dài hai đoạn MF₁ và MF₂ theo a, c, x.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Elip có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) F₁M2 = ${[x - (- c)]}^{2} + {(y - 0)}^{2}$ = ${(x + c)}^{2} + y^{2}$ = $x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}$ ;

F₂M2 = ${(x - c)}^{2} + {(y - 0)}^{2} = x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}$

b) F₁M2 – F₂M2 = $(x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}) - (x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2})$ = 4cx.

F₁M2 – F₂M2 = 4cx => (F₁M + F₂M)(F₁M – F₂M) = 4cx => 2a(F₁M – F₂M) = 4cx

=> F₁M – F₂M = 4cx/2a = 2 cx/a

+) Từ F₁M + F₂M = 2a và $F_{1} M - F_{2} M = \frac{2 c}{a} x$ ta suy ra:

(F₁M + F₂M) + (F₁M – F₂M) = 2a + $\frac{2 c}{a} x$ => 2F₁M = 2a + $\frac{2 c}{a} x$ => MF₁ = a + c/a x.

+) Từ F₁M + F₂M = 2a và $F_{1} M - F_{2} M = \frac{2 c}{a} x$ ta suy ra:

(F₁M + F₂M) – (F₁M – F₂M) = 2a – $\frac{2 c}{a} x$ => 2F₂M = 2a – $\frac{2 c}{a} x$ => MF₂ = a – c/a x.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 50/3.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6, suy ra c = 3.

– Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 50/3, suy ra $2 \frac{a}{e} = \frac{50}{3}$

$\Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{25}{3} \Rightarrow \frac{a^{2}}{c} = \frac{25}{3} \Rightarrow \frac{a^{2}}{3} = \frac{25}{3} \Rightarrow a^{2} = 25 \Rightarrow b^{2} = a^{2} - c^{2} = 25 - 9 = 16.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1.$

Câu 2

Viết phương trình chính tắc của elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định toạ độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của elip này.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có: elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6 => 2a = 8 và 2b = 6 => a = 4, b = 3 $\Rightarrow c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{7} .$

Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–4; 0), A₂(4; 0), B₁(0; –3), B₂(0; 3).

Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(– $\sqrt{7}$ ; 0), F₂( $\sqrt{7}$ ; 0).

Tiêu cự của elip là 2c = 2 $\sqrt{7}$ .

Độ dài trục lớn là 2a = 8, độ dài trục bé là 2b = 6.

Câu 3