Câu hỏi:

12/07/2024 1,883

Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:

a) e = 1/2;

b) e = 1;

c) e = 2.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Cuối chuyên đề 3 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có:

$\frac{M F}{d (M; Δ)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}}}{\frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{1}{2} . \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{1}{2} . \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow {(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2} = \frac{{| x + y - 1 |}^{2}}{8}$

$\Leftrightarrow (1 - 2 x + x^{2}) + (1 - 2 y + y^{2}) = \frac{x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y}{8}$

$\Leftrightarrow 8 (1 - 2 x + x^{2} + 1 - 2 y + y^{2}) = x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y$

$\Leftrightarrow 7 x^{2} + 7 y^{2} - 2 x y - 14 x - 14 y + 15 = 0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $7 x^{2} + 7 y^{2} - 2 x y - 14 x - 14 y + 15 = 0.$

b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{M F}{d (M; Δ)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}}}{\frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}} = 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow {(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2} = \frac{{| x + y - 1 |}^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow (1 - 2 x + x^{2}) + (1 - 2 y + y^{2}) = \frac{x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y}{2}$

$\Leftrightarrow 2 (1 - 2 x + x^{2} + 1 - 2 y + y^{2}) = x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 x y - 2 x - 2 y + 1 = 0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $x^{2} + y^{2} - 2 x y - 2 x - 2 y + 1 = 0.$

c) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{M F}{d (M; Δ)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}}}{\frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}} = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = 2 . \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \sqrt{2} . | x + y - 1 |$

$\Leftrightarrow {(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2} = 2 {| x + y - 1 |}^{2}$

$\Leftrightarrow (1 - 2 x + x^{2}) + (1 - 2 y + y^{2}) = 2 (x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y)$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 4 x y - 2 x - 2 y = 0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $x^{2} + y^{2} + 4 x y - 2 x - 2 y = 0.$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Mặt cắt của một chảo ăng-ten là một phần của parabol (P). Cho biết đầu thu tín hiệu đặt tại tiêu điểm F cách đỉnh O của chảo một khoảng là 1/6 m.

a) Viết phương trình chính tắc của (P).

b) Tính khoảng cách từ một điểm M(0,06; 0,2) trên ăng-ten đến F.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Gọi phương trình chính tắc của parabol là $y^{2}$ = 2px (p > 0).

Ta có p/2 = OF = 1/6 p = 1/3

=> phương trình chính tắc của parabol là $y^{2}$ = 2/3 x

b) Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF = x + p/2 = 0,06 + 1/6 = 59/150 (m).

Vậy khoảng cách từ điểm M(0,06; 0,2) trên ăng-ten đến F là 59/150 mét.

Câu 2

Cho elip $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

a) Xác định toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và tìm tâm sai của (E).

b) Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm là tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

c) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có hai đỉnh là hai tiêu điểm của (E), hai tiêu điểm là hai đỉnh của (E). Tìm tâm sai của (H).

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Có $a^{2} = 25, b^{2} = 9$ => a = 5, b = 3, $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4, \frac{c}{a} = \frac{4}{5} .$

Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–5; 0), A₂(5; 0), B₁(0; –3), B₂(0; 3).

Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(–4; 0), F₂(4; 0).

Tâm sai của elip là e = 4/5

b) Gọi phương trình chính tắc của (P) là $y^{2}$ = 2px (p > 0).

(P) có tiêu điểm là F₂(4; 0) => p/2 = 4 => p = 8

=> Phương trình chính tắc của parabol (P) là $y^{2}$ = 16x.

c) Gọi phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

(H) có hai đỉnh là F₁(–4; 0), F₂(4; 0); hai tiêu điểm là A₁(–5; 0), A₂(5; 0)

=> a = 4, c = 5 => b = $\sqrt{c^{2} - a^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3.$

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1.$

Câu 3

Mặt Trăng chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai bằng 0,0549 và nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Biết khoảng cách gần nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là 362600 km. Tính khoảng cách xa nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng.

Nguồn: https://www. universetoday.com

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Ta đã biết tính chất quang học của ba đường conic (xem phần đọc thêm Bạn có biết? ở trang 72, sách giáo khoa Toán 10, tập hai). Hypebol cũng có tính chất quang học tương tự như elip: Tia sáng hướng tới tiêu điểm F₁ của hypebol (H) khi gặp một nhánh của (H) sẽ cho tia phản xạ đi qua F₂. Một nhà nghiên cứu thiết kế một kính thiên văn vô tuyến chứa hai gương có mặt cắt hình parabol (P) và hình một nhánh của hypebol (H). Parabol (P) có tiêu điểm F₁ và đỉnh S. Hypebol (H) có đỉnh A, có chung một tiêu điểm là F₁ với (P) và còn có tiêu điểm thứ hai F₂ (Hình 3).

Nguyên tắc hoạt động của kính thiên văn đó như sau: Tín hiệu đến từ vũ trụ được xem như song song với trục của parabol (P), khi đến điểm M của (P) sẽ cho tia phản xạ theo hướng MF₁, tia này gặp (H) tại điểm N và cho tia phản xạ tới F₂ là nơi thu tín hiệu. Cho biết SF₁ = 14 m, SF₂ = 2 m và AF₁ = 1 m. Hãy viết phương trình chính tắc của (P) và (H).

(Nguồn: https://sciencestruck.com/parabolic – mirror – working – principle – applications)

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Gương phản chiếu của một đèn chiếu có mặt cắt hình parabol (Hình 5). Chiều rộng giữa hai mép vành của gương là MN = 32 cm và chiều sâu của gương là OH = 24 cm.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol đó.

b) Biết bóng đèn đặt tại tiêu điểm F của gương. Tính khoảng cách từ bóng đèn tới đỉnh O của gương.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) của các conic sau:

a) $\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{144} = 1$ ;

b) $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{144} = 1$ ;

c) $y^{2}$ = 11x.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau: a) e = 1/2; b) e = 1; c) e = 2.

Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) của các conic sau: a) x2169+y2144=1; b) x225−y2144=1; c) y2= 11x.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:

a) e = 1/2;

b) e = 1;

c) e = 2.

Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) của các conic sau:

a) $\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{144} = 1$ ;

b) $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{144} = 1$ ;

c) $y^{2}$ = 11x.