Câu hỏi:

12/07/2024 1,040

Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:

a) e = 1/2;

b) e = 1;

c) e = 2.

Câu hỏi trong đề: Bài tập Cuối chuyên đề 3 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có:

$\frac{M F}{d (M; Δ)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}}}{\frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{1}{2} . \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{1}{2} . \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow {(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2} = \frac{{| x + y - 1 |}^{2}}{8}$

$\Leftrightarrow (1 - 2 x + x^{2}) + (1 - 2 y + y^{2}) = \frac{x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y}{8}$

$\Leftrightarrow 8 (1 - 2 x + x^{2} + 1 - 2 y + y^{2}) = x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y$

$\Leftrightarrow 7 x^{2} + 7 y^{2} - 2 x y - 14 x - 14 y + 15 = 0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $7 x^{2} + 7 y^{2} - 2 x y - 14 x - 14 y + 15 = 0.$

b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{M F}{d (M; Δ)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}}}{\frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}} = 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow {(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2} = \frac{{| x + y - 1 |}^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow (1 - 2 x + x^{2}) + (1 - 2 y + y^{2}) = \frac{x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y}{2}$

$\Leftrightarrow 2 (1 - 2 x + x^{2} + 1 - 2 y + y^{2}) = x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 x y - 2 x - 2 y + 1 = 0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $x^{2} + y^{2} - 2 x y - 2 x - 2 y + 1 = 0.$

c) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{M F}{d (M; Δ)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}}}{\frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}} = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = 2 . \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \sqrt{2} . | x + y - 1 |$

$\Leftrightarrow {(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2} = 2 {| x + y - 1 |}^{2}$

$\Leftrightarrow (1 - 2 x + x^{2}) + (1 - 2 y + y^{2}) = 2 (x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y)$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 4 x y - 2 x - 2 y = 0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $x^{2} + y^{2} + 4 x y - 2 x - 2 y = 0.$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Mặt cắt của một chảo ăng-ten là một phần của parabol (P). Cho biết đầu thu tín hiệu đặt tại tiêu điểm F cách đỉnh O của chảo một khoảng là 1/6 m.

a) Viết phương trình chính tắc của (P).

b) Tính khoảng cách từ một điểm M(0,06; 0,2) trên ăng-ten đến F.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,730

Câu 2:

Mặt Trăng chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai bằng 0,0549 và nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Biết khoảng cách gần nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là 362600 km. Tính khoảng cách xa nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng.

Nguồn: https://www. universetoday.com

Xem đáp án » 12/07/2024 2,065

Câu 3:

Ta đã biết tính chất quang học của ba đường conic (xem phần đọc thêm Bạn có biết? ở trang 72, sách giáo khoa Toán 10, tập hai). Hypebol cũng có tính chất quang học tương tự như elip: Tia sáng hướng tới tiêu điểm F₁ của hypebol (H) khi gặp một nhánh của (H) sẽ cho tia phản xạ đi qua F₂. Một nhà nghiên cứu thiết kế một kính thiên văn vô tuyến chứa hai gương có mặt cắt hình parabol (P) và hình một nhánh của hypebol (H). Parabol (P) có tiêu điểm F₁ và đỉnh S. Hypebol (H) có đỉnh A, có chung một tiêu điểm là F₁ với (P) và còn có tiêu điểm thứ hai F₂ (Hình 3).

Nguyên tắc hoạt động của kính thiên văn đó như sau: Tín hiệu đến từ vũ trụ được xem như song song với trục của parabol (P), khi đến điểm M của (P) sẽ cho tia phản xạ theo hướng MF₁, tia này gặp (H) tại điểm N và cho tia phản xạ tới F₂ là nơi thu tín hiệu. Cho biết SF₁ = 14 m, SF₂ = 2 m và AF₁ = 1 m. Hãy viết phương trình chính tắc của (P) và (H).

(Nguồn: https://sciencestruck.com/parabolic – mirror – working – principle – applications)

Xem đáp án » 12/07/2024 1,906

Câu 4:

Gương phản chiếu của một đèn chiếu có mặt cắt hình parabol (Hình 5). Chiều rộng giữa hai mép vành của gương là MN = 32 cm và chiều sâu của gương là OH = 24 cm.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol đó.

b) Biết bóng đèn đặt tại tiêu điểm F của gương. Tính khoảng cách từ bóng đèn tới đỉnh O của gương.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,708

Câu 5:

Cho elip $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

a) Xác định toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và tìm tâm sai của (E).

b) Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm là tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

c) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có hai đỉnh là hai tiêu điểm của (E), hai tiêu điểm là hai đỉnh của (E). Tìm tâm sai của (H).

Xem đáp án » 12/07/2024 1,330

Câu 6:

Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) của các conic sau:

a) $\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{144} = 1$ ;

b) $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{144} = 1$ ;

c) $y^{2}$ = 11x.

Xem đáp án » 12/07/2024 724

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.