Câu hỏi:
12/07/2024 1,525Chứng minh rằng với mọi n :
a) 3n – 1 – 2n chia hết cho 4;
b) 7n – 4n – 3n chia hết cho 12.
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).
Quảng cáo
Trả lời:
Hướng dẫn giải
a) Bước 1. Với n = 1, ta có 31 – 1 – 2 . 1 = 0 ⁝ 4. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 3k – 1 – 2k ⁝ 4.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
3k + 1 – 1 – 2(k + 1) = 3 . 3k – 1 –2k – 2 = 3 . 3k – 3 –2k = 3 . 3k – 3 –6k + 4k
= 3(3k – 1 – 2k) + 4k
Vì (3k – 1 – 2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên 3(3k – 1 – 2k) + 4k ⁝ 4 hay 3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1. Với n = 1, ta có 71 – 41 – 31 = 0 ⁝ 12. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 7k – 4k – 3k ⁝ 12.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 = 7 . 7k – 4 . 4k – 3 . 3k = 7 . 7k – 7 . 4k – 7 . 3k + 3 . 4k + 4 . 3k
= 7(7k – 4k – 3k) + 3 . 4k + 4 . 3k = 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 (vì k ≥ 1).
Vì 7(7k – 4k – 3k), 12 . 4k – 1 và 12 . 3k – 1 đều chia hết cho 12 nên 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 ⁝ 12 hay 7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)6, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần.
b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1,026.
Câu 3:
Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:
Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...
Kí hiệu an là lượng nước có trong bình sau bước .
a) Tính a1, a2, a3. Từ đó dự đoán công thức tính an với n
b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.
12 Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế (có lời giải)
13 câu Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số có đáp án (Thông hiểu)
185 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1:Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng oxy có đáp án (Mới nhất)
10 Bài tập Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế (có lời giải)
10 Bài tập Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu cho trước (có lời giải)
10 Bài tập Cách xét tính đúng sai của mệnh đề (có lời giải)
23 câu Trắc nghiệm Toán 10 (có đáp án): Phương trình chứa căn
10 Bài tập Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác (có lời giải)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận