Câu hỏi:

12/07/2024 1,387

Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:

Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...

Kí hiệu an là lượng nước có trong bình sau bước n(n*).

a) Tính a1, a2, a3. Từ đó dự đoán công thức tính an với n *.

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Sau bước 1 thì trong bình có 1/2 l nước, do đó a1 = 1/2

Sau bước 2 thì trong bình có: (12+1)2=34 l nước, do đó a2 = 3/4

Sau bước 3 thì trong bình có: (34+1)2=78. l nước, do đó a2 = 7/8

Ta có thể dự đoán an2n12n.

b) Ta chứng minh bằng quy nạp:

Bước 1. Với n = 1, ta có a1 = 12=21121. Do đó công thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: ak2k12k.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

ak + 12k+112k+1.

Thật vậy:

ak là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ k + 1 là:

ak + 1 = ak+12=2k12k+12=(2k1)+2k2k2=2  .  2k12k.  2=2k+112k+1.

Vậy công thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n 1.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có 11=1=1+12. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:1+12+13++1kk+12.

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:1+12+13++1k+1k+1(k+1)+12.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

1+12+13++1k+1k+1 k+12+1k+1=(k+1)2+22(k+1)=k2+2k+32(k+1)k2+2k+1+22(k+1)k2+2k+k+22(k+1)=k2+3k+22(k+1)=(k+1)(k+2)2(k+1)=k+22=(k+1)+12.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n 1.

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 31 – 1 – 2 . 1 = 0 ⁝ 4. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 3k – 1 – 2k ⁝ 4.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

3k + 1 – 1 – 2(k + 1) = 3 . 3k – 1 –2k – 2 = 3 . 3k – 3 –2k = 3 . 3k – 3 –6k + 4k

= 3(3k – 1 – 2k) + 4k

(3k – 1 – 2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên 3(3k – 1 – 2k) + 4k ⁝ 4 hay 3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 71 – 41 – 31 = 0 ⁝ 12. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 7k – 4k – 3k ⁝ 12.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 = 7 . 7k – 4 . 4k – 3 . 3k = 7 . 7k – 7 . 4k – 7 . 3k + 3 . 4k + 4 . 3k

= 7(7k – 4k – 3k) + 3 . 4k + 4 . 3k = 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 (vì k ≥ 1).

7(7k – 4k – 3k), 12 . 4k – 1 và 12 . 3k – 1 đều chia hết cho 12 nên 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 ⁝ 12 hay 7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n 1.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay