Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:

Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...

Kí hiệu a_n là lượng nước có trong bình sau bước $n(n\in {\mathbb{N}}^{*})$.

a) Tính a₁, a₂, a₃. Từ đó dự đoán công thức tính a_n với n $\in {\mathbb{N}}^{*}.$

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Hướng dẫn giải

a) Sau bước 1 thì trong bình có 1/2 l nước, do đó a₁ = 1/2

Sau bước 2 thì trong bình có: $\frac{(\frac{1}{2}+1)}{2}=\frac{3}{4}$ l nước, do đó a₂ = 3/4

Sau bước 3 thì trong bình có: $\frac{(\frac{3}{4}+1)}{2}=\frac{7}{8}.$ l nước, do đó a₂ = 7/8

Ta có thể dự đoán a_n = $\frac{2^n-1}{2^n}.$

b) Ta chứng minh bằng quy nạp:

Bước 1. Với n = 1, ta có a₁ = $\frac{1}{2}=\frac{2^1-1}{2^1}.$ Do đó công thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: a_k = $\frac{2^k-1}{2^k}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

a_{k + 1} = $\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}.$

Thật vậy:

a_k là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ k + 1 là:

a_{k + 1} = $\frac{a_k+1}{2}$$=\frac{\frac{2^k-1}{2^k}+1}{2}=\frac{\frac{(2^k-1)+2^k}{2^k}}{2}=\frac{2.2^k-1}{2^k.2}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}.$

Vậy công thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.